Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?

Ответ. Нет, не существует.

Указание. Разложите число 528 на простые множители.

Решение. Поскольку

528 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 11,

то всякое число, делящееся на 528, делится и на 11. Но никакая ненулевая цифра не делится на 11.

Сколько цифр в числе 11... 11, если оно делится без остатка на 999 999 999?

Ответ. Количество цифр может быть любым, кратным 81.

Указание. 999 999 999 = 111 111 111 · 9. Значит, рассматриваемое число должно делится на 111 111 111, а полученное в результате этого деления частное должно делиться на 9.

В числе переставили цифры и получили число, в 3 раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делится на 27.

Указание. Вспомните признаки делимости на 3 и на 9.

Решение. Пусть A — исходное число, B — число, в три раза меньшее A, полученное из A путём перестановки цифр. Поскольку A = 3B, то A делится на 3. Это значит, что и B делится на 3, так как сумма цифр числа B равна сумме цифр числа A. Таким образом,

B = 3m,

где m — целое, и

A = 3B = 9m.

следовательно, A делится на 9. Значит, B тоже делится на 9 (делимость на 9 определяется, как и делимость на 3, суммой цифр числа), а поэтому

A = 3B = 3 · 9 n = 27n

делится на 27.

К числу прибавили сумму его цифр. К полученному числу прибавили сумму его цифр, и так далее. Когда в седьмой раз к числу прибавили сумму его цифр, получили 1000. С какого числа начали?

Ответ. 887.

Незнайка перемножил все числа от 1 до 100. Посчитал сумму цифр произведения. У полученного числа он снова посчитал сумму цифр, и так далее. В конце концов Незнайка получил однозначное число. Какое?

Ответ. 9.

Комментарий. На компьютере легко посчитать, что число 100! — произведение первых 100 натуральных чисел — равно

93326215443944152681699238856266700490715968264381621 46859296389521759999322991560894146397615651828625369 7920827223758251185210916864000000000000000000000000,

всего 158 цифр. Зная это, нетрудно вычислить, что сумма цифр числа 100! равна 648, так что сумма цифр суммы цифр равна 18, а сумма цифр суммы цифр суммы цифр числа 100! равна 9. Но нельзя ли решить задачу без таких вычислений?

Указание. Вспомните признак делимости на 9 и заметьте, что 100! делится на 9.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒