Замените звёздочки в записи числа 723 цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45.

Замените звёздочки в записи числа 72*3* цифрами так, чтобы число делилось без остатка на 45.

Указание. Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9.

Ответ. 72135 или 72630.

В стране Анчурии в обращении имеются купюры следующих достоинств: 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать миллион анчуров так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?

Ответ. Нельзя.

Указание. Числа 1, 10, 100, 1000, 1000000 дают остаток 1 при делении на 9.

Решение. Номинал каждой купюры даёт остаток 1 при делении на 9. Значит, сумма денег, отсчитанная полумиллионом купюр, даёт такой же остаток при делении на 9, что и число 500000, то есть 5. Однако, число 1000000 даёт остаток 1 при делении на 9.

а ) Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

б) Решите ребус АБ – БА = А.

Ответ. а) 98; б) 98 – 89 = 9.

Указание. Составьте уравнение

(10a + b) – (10b + a) = a.

Верно ли, что если записать в обратном порядке цифры любого целого числа, то разность исходного и нового чисел будет делиться на 9?

Ответ. Верно.

Указание. Натуральное число даёт при делении на 9 такой же остаток, как и сумма его цифр (докажите это! ). Поэтому числа, отличающиеся лишь перестановкой цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9 — это означает, что их разность делится на 9.

Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется после умножения ни на 2, ни на 3, ни на 4, ..., ни на 8, ни на 9.

Ответ. 18, 45, 90, 99.

Решение. Пусть n — искомое число, а s(n) — сумма его цифр. Так как число 9n делится на 9, то и сумма его цифр s(9n) делится на 9, а поскольку по условию s(9n) = s(n), то и само число n делится на 9. Итак, искомые числа находятся среди следующих: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти числа условию задачи, то есть умножить каждое из них на 2, 3, 4, ..., 8, 9 и посмотреть, не изменилась ли сумма цифр.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒