|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Циклдық кодтарға математикалық кіріспеОсылай n-разрядты циклдық кодтың ә рбір рұ қ сат етілген комбинациясы екі кө пмү шенің туындысы болып табылады, оның біреусі қ ұ раушы, онда бұ л комбинацияларды n-1 дә режесінен жоғ ары емес кө пмү шелердің барлық туындылары ретінде қ арастыруғ а болады. Бұ л мына ойғ а алып келеді, осы кодтарды қ ұ рау ү шін тағ ы бір алгербралық жү йенің тармағ ынн қ олдануғ а, дә лірек, сақ ина теориясына. Келтірілген анық тамағ а сү йене отырып, сақ инаны қ ұ рау ү шін кө птеген n-разрядты кодтық комбинацияларғ а екі операция жү ктеу керек, қ осу жә не кө бейту. Кө пмү шелерді қ осу операциясы модуль екі бойынша келтірілген коэфиценттерге сә йкес таң далғ ан. Енді кө бейту операциясын қ арастырайық. Кө пмү шелерді кө бейту операциясы қ арапайым ережелер бойынша модуль екі сә йкес мү шелерді келтіру тұ йық талу шартын бұ зуғ а алып келеді. Расымен, кө бейту нә тижесі бойынша n-1 дә режесінен ү лкен кө пмү шелерді аламыз, дә реже 2(n-1) дейін жетуі мү мкін, ал оғ ан сә йкес кодтық комбинациялар n разрядты саннан кө п болады, осығ ан сә йкес қ арастырылып отырғ ан кө птікке қ атысы болмайды. Сондық тан символдық кө бейту операциясы былай беріледі: 1)кө пмү шелер қ арапайым ереже бойынша кө бейтіледі, бірақ модуль екі бойынша келтірілген мү шелерге сә йкес; 2)егер туындының жоғ ары дә режесі n-1 кө п болмаса, ол символдық кө бейтудің нә тижесі болады; 3)егер туындының жоғ ары дә режесі n-ғ а тең немесе ү лкен болса, онда кө пмү ше туындысы алдын ала анық талғ ан nи дә режесіндегі кө пмү шеге символдық кө бейту бө лудің қ алдығ ы жатады. Қ алдық тың дә режесі n-1 аспайды, сонымен қ атар, бұ л кө пмү ше k разрядты кодтық комбинациялардың кө птігіне жатады. Расымен n-1 дә редесіндегі кө пмү шенің кө бейтіндісінің нә тиесінде мынаны аламыз: G(x) = (xn-1 + xn-2 + … + x + 1)x = xn + xn-1 + … + x Қ арастыра келе, кө бейту нә тижесі кодтық комбинацияғ а сә йкес келу керек, шық қ ан кодтық комбинациясының циклдық жылжуы жолымен қ ұ ралады, онда хn –ді 1-ге ауыстыру керек. Мұ ндай ауыстыру кө пмү шенің xn+ 1-ге кө бейтіндісінен алынғ ан бө лінуге эквивалентті болады, мұ ны былайша қ алдық ты алу деп атайды немесе модуль xn+ 1 бойынша келтіру. Мұ нда хnна –ны 1ге міндетті тү рде ауыстыру қ ажет. Баламалы бө луге сондай алмастыру бө луден қ алдық қ а нә тижеге сапада жазумен xn+ 1 кө пмү шелікте кө бейтуда алғ ан, не қ алдық тың алынуы деп немесе модул бойынша келтіруде xn+ 1 (ө зі қ алдық шегермеде) деп аталады. Барлығ ын кө пмү шеліктеріне ішкі жиынымызғ а біздің сақ инамызда енді ерекшелейміз, еселі кейбір g (x) кө пмү шелікке. Сондай ішкі жиынды идеалмен деп атайды, ал кө пмү шелік идеалдың кө пмү шелікпен g (x) тудыратын. Идеалда ә р тү рлі элементтердің сан кө пмү шеліктің оның тудыратын тү рмен анық талып жатыр. Егер 0 алу кө пмү шелікке тудыратын, біресе кө бейту, барлық идеал тек қ ана бұ л кө пмү шелікті қ ұ рау болады Егер артына 1 [g (x) = 1] қ абылдау кө пмү шеліктің тудыратын, біресе идеалғ а сақ иналар барлық кө пмү шеліктер кіреді. Дә режелер қ арапайым кө пмү шелікпен туғ ан идеалдың элементтердің саны жалпы алғ анда жағ дайғ а n-k, 2k қ ұ райды. Тү сінікті енді бола тү сіп жатыр, не циклдік екілік кодқ а салынғ ан бізбен n-дә режелік екілік кодтық комбинацияларғ а сақ инада идеалғ а келіп жатыр. Кө пмү шелікті таң дау сияқ ты, анық тау қ алып жатыр g (x), тап қ алғ ан қ асиеттермен циклдік код қ абілетті тудыру керек. Кө пмү шелікке талаптарды, жасаушысығ а ұ сыну Оның кодтық комбинацияларғ а лайық ты барлық кө пмү шеліктер циклдік код анық тау бойынша, қ алдық сыз g (x) жіктелуге тиісті. Кодсыз кө пмү шеліктерсіз, қ ұ райтын жасаушы матрицасыз қ алдық сыз g (x) жіктелу ү шін, ү шін бұ л жеткілікті. Циклдік жылжумен соң ғ ы пайда болып жатыр, не 1 xn модул бойынша келтірумен х g (x) біртіндеп кө бейтуғ а сә йкес келіп жатыр. Демек, кө пмү шелік жалпы алғ анда жағ дайғ а осылай жазып алғ ан xn 1и мү мкін болу g (x) •хiна кө пмү шеліктен шығ армадан бө луден қ алдық пен gi (x) келіп жатыр: gi(x)=g(x)xi + c(xn + 1) мұ ндағ ы с=1 болады, егер g(x) хi дә режесі п-1-ден асып тұ рса, егер g(x) хi дә режесі п-1-ден аспай тұ рса. Осыдан кө руге болады, егер xn + 1 мына кө пмү шелік g(x)-ке қ алдық сыз бө лінсе барлық матрицаның кө пмү шеліктері жә не барлық код кө пмү шеліктер g(x)-ке қ алдық сыз бө лінеді. Осылайша, егер g(x) идеалды жә не циклдық кодты шығ арғ ысы келсе, онда ол xn + 1 кө пмү шелігінің бө лінгіші болу керек. Сақ ина ү шiн топтың барлық касиеттері ә діл болғ андық тан, ал мінсіз ү шін - шағ ын топтың барлық қ асиеттерi, сақ инаны шағ ын топтарғ а жiктеуге болады, бұ л жағ дайда оны мінсіз санақ тобы деп атайды. Жiктеудiң бiрiншi жолын мінсізден тұ рады жә не де нө лдiк элемент шеткi сол жағ ында орналасады. Қ ұ растыратын шегерiмдердiң бiрiншi табы сапада мінсіз тә уелдi емес кез келген кө пмү шелiкті таң дауғ а болады. Шегерiмдердiң табы мінсіздін кө пмү шелiгiмен ә рбір қ ұ растыратын кө пмү шелiктiң жинақ тауы жолымен қ ұ рады. Егер дә реже m = n-k (x ) g кө пмү шелiк xn + 1-шi бө лгiші болып табылса, онда сақ инаның кез келген элементi немесе (x ) g қ алдық сыз бө лiседi, немесе бө лiнудiң нә тижесiнде дә реженiң r(х) ө зiмен кө рiнетiн кө пмү шелiгi қ алдық m-1 ден ү лкен болмайды. Нә тижесінде бір ғ ана мінсіз мә н беретін сақ ина элементі шегерімдердін бір таптарына жатады. Дә реже m (x ) g қ ұ растыратын кө пмү шелiкпен r(х) шегерiмдердiң кластарын қ ұ растыратын элементтер сақ инасының жiктеуiне кесте кө рсетуге болады. Таблица 4. 12.
Бақ ылау сұ рақ тары: 4. Циклдық кодтар қ алай қ ұ рылады? 5. Циклдық кодтарғ а математикалық кіріспе. 6. Туындатушы кө пмү шелікке қ ойылатын талап.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|