Куттии одї. Божественная Коробка

Куттии одї

: Аз «ќутти одї» якбора -то элемент гирифта мешавад.

: Последователно извлекаем элементы из обычной коробки, и получаем на выходе определенную кучку из -элементов. И нам очень важен порядок извлекаемых объектов.

Мы рассмотрели все варианты обычной коробки. Надо добавить, что когда мы рассмотрели вариантов обычной коробки, у нас количество элементов было -штук. Свойство божественной коробки отличается от свойство обычной коробки. Разница в том, что в божественной коробки не содержится -элементов, а содержится бесчисленное множество элементов, и все виды элементы божественной коробки совпадают с элементами обычной коробки. Божественная коробка содержит бесчисленное множество карточек. Т. е есть бесчисленное множество карточек на которых нарисовано элемент есть бесчисленное множество карточек на которых нарисовано элемент есть бесчисленное множество карточек на которых нарисовано элемент То есть у нас есть -бесчисленных множеств, и все они запихнуты в эту божественную коробку. Давайте начнем рассмотреть два варианта божественной коробки.

Божественная Коробка

Вариант: Зачерпываем в пригоршни -элементов из божественной коробки.

Вариант: Последователно извлекаем элементы из божественной коробки, и получаем на выходе определенную кучку из -элементов. И нам очень важен порядок извлекаемых объектов.

И так мы рассмотрели всех вариантов. Теперь каждому варианту даем определенное название.

Вариант: -сочетания без повторений

Вариант: -размещения без повторений

Вариант: -сочетания с повторениями

Вариант: -размещения с повторениями

Теорема: .

Доказательство: . На первую позицию в будущем -размещении с повторениями, мы можем выбрать любой из этих

-объектов. На вторую позицию в -размещении мы тоже можем выбрать любой из наших -объектов. …. На -ю позицию мы тоже можем выбрать любой из наших -объектов. Но понятное дело, что количество таких размещений с повторениями и будем вычислять как:

. ЧТД.

Теорема: .

Доказательство: На первую позицию в -размещений без повторений мы можем выбрать любой из -объектов. На вторую позицию в

-размещений без повторений мы можем выбрать любой из освщихся

-объектов. ... . На -ю позицию в -размещений без повторений мы можем выбрать любой из оставщихся -объектов. По правилу умножения

. ЧТД.

Следствие: .

Доказательство: Ну почему это так? – Это -размещений мы нечего не размещаем мы просто нечего незделаем. Но сколькими способами можно выташить так сказать пустое множество объектов? - И понятное дело, что можно сделать способом. И даже, если в формулах поставить будет тоже верно, то есть ЧТД.

Следствие: ;

(Число перестановок ).

Доказательство: Что значит выбрать -объектов из множество мощности ?. Что значит выбрать с учетом последовательности, с учетом порядка? Ну нашы формулы нам дают следующее:

;

( число различных всевозможных перестановок ). ЧТД.

Задача: На пиратском корабле есть человек экипажа. Сколько существует различных способов выбрать из этих человек капитана и боцмана ему в помощнике?

Решение: Давайте обозначим людей как . Из этого множество из объектов нам нужно выбрать два объекта без повторений. И здесь при выборе объектов речь идёт о размещении, так как нам важен порядок следований объектов внутри нашей пары которую мы выбираем. То есть это должны быть два разных объекта, и порядок их нам важен, потому, что важно какие именно должности эти два товарищи будут иметь – кто из них капитан, а кто из них боцман. Поэтому это в чистом виде два размещения без повторений из объектов, то есть различных способов составить из член экипажа пару капитана и боцмана.

Ответ:

Задача: Имеется игрушечный поезд. Он состоит из вагонов. А в наборе к этому игрушечному поезду имеется типов вагонов ( плацкартные, купейные, ресторан, … ).

а) Сколько всего существует способов составить поезд, если все вагоны в этом поезде были разными?

б) Сколько есть способов составить поезд, если все вагоны в этом поезде были различными и в этом поезде обязательно есть вагон ресторан?

Решение:

а)Мы должны составить поезд из вагонов. И здесь у нас речь идёт о выборе. Ну понятное дело, мы выбираем из множество который состоит из элементов( вагонов ) . И надо выбрать их ровно штук из этой множестве который состоит из элементов, и все вагоны должны быть разными. Значить наш выбор – это размещение без повторение, то есть способов.

б) Выбираем позицию для вагонов ресторан. Это естественно делается шестью способами. После чего у нас остается позиций. И из типов вагонов который у нас были в нашем распоряжении, остаётся только семь типов вагонов которыми можно пользоваться. Следовательно количество способов который нам нужен, равен ;

Ответ: .

Задача: Маша и Петя подумали некий язык, в котором символы, , .

а) Сколько существует различных слов из пяти букв?

б) Сколько можно составить слов, у которых длина не больше пяти?

в) Сколько можно составить слов из не более пяти букв, если первая буква – эта обязательно ?

Решение:

а) Понятно, что речь идет о повторении. То есть три объекта, и из них мы выбираем какие то угодно 5, при этом возможно повтор различных слов из пяти букв которое можно составить на языке Маши и Пети;

б) Мы уже знаем сколько есть слов каждый из которых состоит из ровно пяти букв – эта слов; Дальше мы можем совершенно аналогично посчитать количество слов в каждом из которых ровно четыре буквы – эта слов. Дальше мы посмотрим на слова которые содержат всего три буквы – эта слов; Посмотрим две буквы – эта слов. И наконец одна буква– эта слов. Значить количество слов длина которых не более пяти букв, равен слов.

в) Давайте рассмотрим сначала сколько можно составить слов длины пять (в нашем случае). Ну мы знаем, что первая буква – эта , значить надо заполнить оставшихся четыре позиции в этом пятибуквенном слове. ; Это можно сделать

способами. Дальше найдем количество слов длины четыре – эта аналогичным образом будет

слов. Дальше найдем количество слов длины три – эта сделается

способами. Дальше количество слов длины два – эта

способов. И наконец количество слов длины один – эта делается

способами.

Итого мы получим

количество слов которые не более пяти букв имеют в своем записи, и первая буква которых .

Задача: Есть три студента – Амина, Марям и Салва. Они собираются на свадьбу. Им необходимо нарядится. И у них есть в распоряжении некоторые количество разных нарядов – 4рубашки, 3джинсы, и 8пар обуви. Сколькими способами они могут распределить между собой эти самые наряды, так чтобы по-разному нарядиться для свадьбы?

Решение: Давайте сначала рассмотрим рубашки, и обозначим их как Из этих четырех объектов надо выбрать три распределяя по разным студентам. Ну естественно – три размещения без повторений, потому что порядок исключительно важен и рубашки все разные. То есть количество способов раздачи рубашек – эта способов. И тоже самое касается ситуации с раздачи джинсы – то есть способов. И тоже самое с ситуации которое касается пар обуви – это сделается способами. Итого по правилу умножения получается, что количество способов распределения между студентами эти самые наряды, так чтобы по-разному нарядиться для свадьбы равен

Теорема:

Доказательство: Пусь у нас есть множество состоящий из -объектов . Из этого множество мы извлекаем всевозможные -сочетаний без повторений. Берём какой ни будь -сочетаний без повторений. Нарисуем его как прямоугольник, и рядом пищем элементы этой сочетаний, а внутри пищем номер данной сочетаний:

{ }

(множество элементов этой конкретной сочетаний)

Потом ещё какую ни будь другую

-сочетаний возмë м:

{ }

Последний прямоугольник ( наш -сочетаний без повторений ) имеет номер , так как все эти прямоугольники показывают количеству всех конкретных -сочетаний без повторений. И номер всех сочетаний –это и есть количество всех возможных -сочетаний, то есть равен номеру последней прямоугольника. Теперь элемент каждого прямоугольника переставляем. И это у каждого прямоугольника –различных размещений отвечающих данному сочетанию. А сколько всего размещений? – Очевидно, что всего размещений. То есть получается

ЧТД.

Теорема:

Доказательство: Пусть у нас есть какой-то набор объектов { }. Из этих объектов мы составляем всевозможные -сочетания с повторениями. Каждому из этих -сочетаний с повторениями мы сопоставляем паспорт с номером и , другими словами мы закодируем наш паспорт. Мы просто рисуем в начале столько единиц, сколько раз в данном конкретном -сочетании встречается элемент :

И не рисуем единицы вовсе, если в данном конкретном -сочетаний ( которое мы пытаемся закодировать ) просто не встречается. Дальше рисуем перегородку в виде отделяющего встречаемого элемента от встречаемого символа :

И рисуем столько единиц, сколько раз встречается :

И снова рисуем :

И в конце единицы (если возможно):

То есть мы взяли -сочетаний с повторениями. Посмотрели сколько раз сколько раз сколько раз встречается, и нарисовали соответствующие единиц, то есть количество единиц. А эти количество единиц разделили перегородками нулями. У нас каждому -сочетанию с повторениями отвечает уникальный паспорт – такая последовательность из единицы и нулей в которой -штук единиц, а перегородок -штук. Значит наши паспорта – это различные последовательности из и , в каждой из которых ровно -единиц и ровно -нулей, и длина всей последовательности-это И вот нас интересует сколько всего бывает таких последовательностей. Давайте посчитаем количество последовательностей. Это количество равно количеству способов выбрать -позиций из возможных позиций для постановки на эти -позиций единицы, то есть

Задача: Есть некая лаборатория – медицинская. И в этой лаборатории имеется 10-подопытных мышей, и все они разные. Надо выбрать пять мышей из этих десяти, так чтобы над ними поставить эксперимент. Сколько есть способов выбрать пять мышей для эксперимента?

Решение: Понятно, что у нас имеется множество состоящий из десяти различных объектов – эта вот эти самые наши десять мышей– . И из этого множество мы извлекаем пять штук мышей – естественно разных, поэтому речь идет об извлечении 5–сочетания без повторений. Здесь наше извлечение–эта не пять размещений, а точно 5–сочетаний, потому что ни как в рамках постановки вопроса, не оговорена в каком порядке над этими мышами будет производится эксперимент. Следовательно способов выбрать пять мышей для эксперимента.

⇐ Предыдущая 1 2 34