6. Задание 18 № 503256. 7. Задание 18 № 515748. Решение.. 8. Задание 18 № 519639

6. Задание 18 № 503256

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

Решение.

Запишем исходное уравнение в виде

Пусть t = cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [− 1; 1]. Графиком функции

является парабола, ветви которой направлены вверх,

следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [− 1; 1], либо при условии

(рис. 1) откуда либо при условии (рис. 2)

откуда

Ответ:

7. Задание 18 № 515748

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок

Решение.

Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

(1)

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок косинус должен принимать значения (см. рисунок)

Пусть , тогда и неравенство принимает вид

(2)

(3)

Введём функцию

Для того, чтобы множество решений неравенства (3) содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

8. Задание 18 № 519639

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства

содержит отрезок

Решение.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок , удвоенный аргумент должен содержать отрезок , а косинус двойного угла должен принимать все значения (см. рисунок)