3. Деление с остатком

Число 49 на 3 не делится. Но если уменьшить 49 на 1, то получится число, делящееся на 3, т. е. 49-1=3× 16 или 49=3× 16+1. Здесь число 16 называется неполным частным, а 1 – остатком.

Таким образом, если число а при делении наb дает частное q и остаток r, то можно написать a=bq+r.

Но не всякую запись такого вида можно считать записью деления с остатком. Например, 20=3× 4+8 – верное равенство, но неверно, что при делении 20 на 3 получается остаток 8. Аналогично и с записью 20=3× 7+(-1).

Определение. Пусть a и b – два целых числа, причем b> 0. Если a=bq+r, где 0£ r< b, то говорят, что а дает при делении на b частное q и остаток r.

Пример 4. Найдите частные и остатки при делении на 7 чисел 100 и -50.

Решение: 100=7× 14+2 (q=14, r=2), -50=7× (-8)+6 (q=-8. r=6).

Очевидно, что каждое целое число а можно представить в виде:

либо a=bq, либо a=bq+1, либо a=bq+2, …, либо a=bq+(b-1).

Значит, при делении на 2 возможны остатки 0 и 1, т. е. любое целое число а можно представить либо в виде а=2q (тогда оно четное), либо в виде а=2q+1 (тогда оно нечетное). А при делении на 3 возможны остатки 0, 1 или 2, т. е. а=3q, или а=3q+1, или а=3q+2.

Это обстоятельство часто используется при решении задач.

Пример 5. Докажите, что при любом целом n число n³ – n делится на 6.

Решение. При делении на 6 число n можно представить в одном из следующих видов: 6q, 6q+1, 5q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5. n³ – n=n(n+1)(n-1).

Если n= 6q, то n³ – n=6q (6q +1)( 6q -1), т. е. делится на 6.

Если n=6q+1, то n³ – n=(6q+1) (6q +2)6q, т. е. делится на 6.

Если n=6q+2, то n³ –n=(6q+2)(6q +3)(6q +1)=6(3q+1) (2q +1)(6q +1), т. е. делится на 6.

Если n=6q+3, то n³ –n=(6q+3)(6q +4)(6q +2)=6(2q+1) (3q +2)(6q +2), т. е. делится на 6.

Если n=6q+4, то n³ –n=(6q+4)(6q +5)(6q +3)=6(3q+2) (6q +5)(2q +1), т. е. делится на 6.

Если n=6q+5, то n³ –n=(6q+5)(6q +6)(6q +4)=6(6q+5) (q +1)( 6q +4), т. е. делится на 6.

Итак, каково бы ни было n число n³ – n делится на 6.

Пример 6. Докажите, что если числа а и b не делятся на 3, но дают при делении на 3 одинаковые остатки, то число аb-1 делится на 3.

Решение: Так как числа не делятся на 3, то либо а=3q+1, b=3k+1, либо a=3q+2, b=3k+2.

Тогда либо аb-1=(3q+1)(3k+1)=9qk+3q+3k+1-1=3(3qk+q+k), либо аb-1= (3q+2)(3k+2)= =9qk+6q+6k+4-1=3(3qk+2q+2k+1), т. е. в обоих случаях делится на 3.

Пример 7. Докажите, что если а – нечетно, то а² -1 делится на 8.

Решение: Так как а–нечетно, то его можно представить в виде 2n+1. Тогда а² -1=(2n+1)²- 1 =4n(n+1). Так как из двух последовательных целых чисел n и n+1 одно четное, то произведение n(n+1) делится на 2, а тогда 4n(n+1) делится на 8 (теорема 2).

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒