Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

Стр 1 из 4Следующая ⇒

§…. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

Опр: Начальным моментом порядка k случайной величины Х называю мат.ожидание случайной величины Х^k.

ν_к= М[X^k] k= 1, 2, 3 ….

ν₁= МХ

ν₂=М[Х²]

DХ= ν₂- ν₁²

Опр: Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют мат.ожидание случайной величины (Х-МХ)^k

µ_k= М[(Х-МХ)^k]

µ₁=0

µ₂= DХ

Пусть ρ(х) – симметричная функция относительно х=МХ, тогда любой центральный момент нечетного порядка будет равен 0., а для несимметричной функции ρ(х) момент не равен 0.

Тогда очевидно µ_k (k=2n+1) может служить мерой асимметричности распределения.

Опр: Асимметрией теоретического распределения называется отношение дка к кубу среднеквадратичного отклонения :

Для нормального распределения As=0

As>0 , если большая часть кривой справа от МХ. As<0, если большая часть кривой слева от МХ.

Вместо МХ на практике используют моду распределения –максимум на кривой плотности распределения.

Опр: Эксцессом называют характеристику, определяемую равенством Ек= -3

Для нормального распределения =3

§…Распределение функции одного случайного аргумента.

Пусть Х – случайна величина. Если каждому возможному значению Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y – функция случайного аргумента Х.

Y=φ(Х)

1)Х – дискретная случайна величина, Y=Х²

х_i	- 2
р_i	0,4	0,5	0,1

у_i
р_i	0,9	0,1

Вероятности соответствующих значений Х и У Y равны, если двум значениям Х соответствует одно значение Y, то соответствующие вероятности складываются.

2)Х – непрерывная случайная величина.

Х→ρ(х) Y =ψ(Х)

Если Y =φ(Х) – дифференцируемая, строго убывающая или строго возрастабщая функция, обратная которой Х= ψ (Y). Тогда плотность распределения случайной величины Y вычисляется по формуле: ρ_у(у)= ρ_х(ψ (y)) |ψ^´(у)|

Пример:

Пусть Х→N(0,σ) , Y =Х³

ρ_х(х)=