![]()
|
|||||||
Теорема 2. Поле F потенциально Криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Теорема 2. Поле F потенциально Криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути. Примечание. Потенциал в точке А вычисляется как U(А)-U(A0), где A0 - начальная точка, как правило (0,0,0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Если поле потенциально то а тогда в интеграле Достаточность. Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от (0,0,0) до точки А(x,y,z). То есть Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А1 равен U(А1). Их координаты А (x,y,z) А1 (x+∆x,y,z) .
при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0.
То есть Аналогично
Алгоритм нахождения потенциала, пример. Пример.
Итак, эта матрица симметрична, значит, поле потенциально. Теперь ищем потенциал. Для этого вычислим криволинецный интеграл от точки (0,0) до произвольной точки (x,y). Так как он не зависит от пути, выберем для простоты ломаную, так чтобы отрезки были вдоль осей
В пространстве было бы Интегральные формулы. Формула Грина. Пример вычисления работы по единичной окружности от поля F = (-y,x) без формулы и по формуле Грина.
Формула Стокса Формула Остроградского-Гаусса.
|
|||||||
|