ordm; Моделирование запаздывания при освоении капиталовложений

26º Моделирование запаздывания при освоении капиталовложений

При моделировании экономических процессов часто приходится иметь дело с эффектом запаздывания. Так, например, сделанные в некоторый момент времени инвестиции не могут мгновенно превратиться в фонды. Имеется два подхода к моделированию запаздывания в процессе освоения капиталовложений. Первый из них предполагает наличие временного промежутка лага , по прошествии которого капиталовложения превращаются в фонды. В этом случае можно считать, что фонды, входящие в строй в году , созданы за счет инвестиций, сделанных в году . Тогда уравнение движения фондов будет иметь вид , где - коэффициент выбытия фондов.

Непрерывным аналогом этой формулы является следующее дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием

Наряду с данной моделью в настоящее время используется другой подход к моделированию запаздывания, основанный на введении так называемого распределённого лага. Суть этого подхода состоит в предположении, что инвестиции осваиваются постепенно. Конкретнее: если в году сделаны инвестиции , то в году будет освоена часть . Рассмотрев весь период времени, предшествующий году , получим следующую формулу для фондов, входящих в строй в этом году: . Тогда уравнение движения фондов будет иметь вид .

Непрерывным аналогом этих соотношений будут, соответственно, следующие формулы:

(1)

(2)

Величина показывает, какая доля инвестиций, сделанных в момент , будет освоена в момент . Если эта доля зависит лишь от длительности промежутка освоения, то говорят о стационарности процесса ввода инвестиций в действие. В этом случае , где - некоторая функция одной переменной. Тогда формула (1) принимает вид

Вводя новую переменную , получим:

(3)

Остановимся на условиях, которым должна удовлетворять функция . Естественным выглядит предположение о том, что доля сделанных в момент инвестиций, которая будет освоена в момент , тем меньше, чем больше . Это означает, что функция должна быть убывающей или, по крайней мере, невозрастающей. При больших значения должны быть близки к нулю. Это условие можно формализовать следующим образом: (4)

Понятно, что при равномерных капиталовложениях ( ) фонды будут входить в строй также равномерно: . Тогда из (3) получаем:

Легко убедиться в том, что перечисленным условиям удовлетворяет функция (5), где которое довольно часто используется при математическом моделировании процессов освоения капиталовложений.

Вычисляя производную правой части (3) по правилам дифференцирования несобственных интегралов по параметру, получим

Интегрируя последний интеграл по частям с учётом (4) будем иметь

(6)

Для экспоненциального закона запаздывания (5) , . В этом случае соотношение (6) принимает вид

Отсюда и из (3) получаем

(7)

Таким образом, в случае экспоненциального закона запаздывания объём вводимых в действие фондов может быть найден как решение обыкновенного дифференциального уравнения (7). При этом необходимо задать капиталовложения как функцию времени и начальные значения

⇐ Предыдущая 19 20 21 22 232425 26 27 28 Следующая ⇒