Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Закрепление метода интегрирования по частям

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

5. Метод замены переменной

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: a)

где

монотонная, непрерывна дифференцируемая функция новой переменной

. Формула замены переменной в этом случае:

где

новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Закрепим метод замены переменной на конкретном примере. Вычислим интеграл

Какую сделаем замену?

Сделаем замену

, т.е.

, тогда

Отсюда получаем

Вернемся к замене переменной

Ответ:

6. Метод интегрирования по частям

Посмотрите на интегралы, записанные на доске

;

. Такие интегралы мы не сможем посчитать только с помощью ранее изученных свойств и таблицы интегралов. Для вычисления некоторых трансцендентных функций, а также произведений алгебраических и трансцендентных функций используется метод интегрирования по частям.

Запишите в тетради определение интегрирования по частям. Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

где

дифференцируемые функции.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

где

дифференцируемые функции.

7. Закрепление метода интегрирования по частям

Разберем следующий пример

. Пусть

, тогда

. По формуле интегрирования по частям получим

Пусть

, тогда

. По формуле интегрирования по частям получим

Решим:

Что положим за

? за

? К какому интегралу сведется решение? Если выбрать значения

иначе, к какому интегралу сведется решение? Итак, мы пришли к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу. Во многих случаях легко интегрируемые выражения, такие как