Изложение нового материала

3. Изложение нового материала

Cлово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения. Определение 1. Функция

называется первообразной для функции

если

или

Одночленами являются: 1), 3), 4) так, как эти алгебраические выражения представляют собой произведение чисел и переменных, возведенных в натуральную степень.

Запишем в тетради следующую теорему. Теорема 1. Если функция

имеет первообразную

, то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении

где постоянная. Рассмотрим геометрический смысл первообразной, исходя из теоремы. Посмотрите на рисунок. Как получаются графики всех первообразных для функции

? Сформулируйте геометрический смысл первообразной.

Графики всех первообразных данной функции

получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Запишем определения. Определение 2. Неопределенным интегралом для функции

(или от выражения

) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначается

где

знак интеграла,

подынтегральная функция,

подынтегральное выражение,

переменная интегрирования. Символ

введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Определение 3.Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Посмотрите на примеры. Назовите подынтегральную функцию, подынтегральное выражение и переменные интегрирования в следующих интегралах: 1.