Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Пример.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

.Найдем критические точки:

а) , если т.е. .

б). не существует – таких точек нет.

─

Следовательно, имеем одну критическую точку

. Отметим на области определения функции эту точку и интервалы монотонности:

→ точка является точкой локального минимума. , т.к. при производная отрицательна и функция убывает, а при производная положительна и функция возрастает.

▲ Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Определение 4. Дифференцируемая на функция называется выпуклой вверх (вниз), если ее график лежит ниже (выше) любой касательной.

При этом :

выпуклая вверх

выпуклая вниз

Определение 5.

Если справа и слева от т. функция имеет разные направления выпуклости, то точка называется точкой перегиба (ТП).

Например, на рисунке точка − ТП.

Теорема 6. (Достаточный признак выпуклости- вогнутости)

Если дважды дифференцируема на ,то:

· − выпуклая, если

· − вогнутая, если

(Без доказательства).

Теорема 7. ( Необходимое условие т. перегиба (ТП).

Если имеет перегиб в т. , то или

Доказательство. Очевидно (О1 и О2).

Теорема 8. ( Достаточное условие ТП.)

Если в т. или , а знаки справа и слева т. различны, то т. ТП.

Доказательство. Очевидно по О2.

▲ Асимптоты графика функции

Определение 6. Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Определение 7. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Пример: график функции имеет вертикальную асимптоту (в этой точке разрыв рода)

Замечание: непрерывные функции, очевидно, вертикальных асимптот не имеют! Асимптоты возможны только в точках разрыва функции.

Определение 8. Прямая называется правой наклонной асимптотой графика функции , если: .

Аналогично определяетсялевая наклонная асимптота( )

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒