Векторная алгебра и анализ. Монотонность функции

Стр 1 из 4Следующая ⇒

2. Векторная алгебра и анализ

2.4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Авторы: Н.А. Лобашева, Л.Ю. Трояновская.

Лекция 1.Применение производных к исследованию функций и построению графиков

Содержание:

1. Монотонность функции. ♦

2. Экстремум функции. ♦

3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. ♦

4. Асимптоты графика функции. ♦

5. Полное исследование функции и построение графика. ♦

Монотонность функции

Определение 1. Пусть определена на множестве и множество . Если для , удовлетворяющим условию выполняются неравенства:
, функция называется возрастающей, , функция называется неубывающей, , функция называется убывающей , функция называется невозрастающей на G.

Все четыре типа в совокупности называются монотонными на G,

а возрастающие и убывающие - строго монотонными на G.

G − интервал монотонности.

Теорема 1. (Достаточный признак монотонности)
Если функция дифференцируема на интервале (а, b) и производная сохраняет знак в каждой точке , то она монотонна на этом интервале, причем
если − функция возрастает,
а если − функция убывает на (а, b).

Доказательство: очевидно из геометрического смысла .

Теорема 2. (Необходимый признак монотонности)
Если функция дифференцируема и монотонна на интервале (а, b) то производная сохраняет знак на этом интервале.

12 3 4 Следующая ⇒