Примеры решения задач

Примеры решения задач

Пример 1. Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона (период полураспада сут) равна 1,5 г. Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 сут.

Решение. Начальная активность изотопа

где — постоянная радиоактивного распада; - число ядер изотопа в начальный момент времени: , где — молярная масса радона ( кг/моль); моль^-1 постоянная Авогадро. Учитывая эти выражения, найдем искомую начальную активность изотопа:

Активность изотопа , где, согласно закону радиоактивного распада, — число нераспавшихся ядер в момент времени t. Учитывая, что , найдём, что активность нуклида уменьшается со временем по закону

Вычисляя, получаем: 1) Бк; 2) Бк.

Пример 2. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра ⁷₃Li.

Р е ш е н и е. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δm и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е.

Δm = Zm_p + (A - Z)m_n – m_я, (1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); m_p, m_n, m_я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формула (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m_а = m_я + Z m_е, откуда

m_я = m_а - Z m_е. (2)

Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем

Δ m = Z m_p + (A – Z) m_n– m_a+ Z m_e, или

Δ m = Z (m_p+ m_e) + (A - Z) m_n– m_a.

Замечая, что m_р+ m_е= m_н, где m_н– масса атома водорода, окончательно находим

Δ m = Z m_H+ (A - Z) m_n– m_a.. (3)

Подставив в выражение (3) числовые значения масс, получим

Δm = [3 Ì 1,00783 + (7 - 3) Ì 1,00867 – 7 Ì 0,1601] а. е. м =0,04216 а. е. м.

В соответствии с законом пропорциональности масс и энергии

E = c²Δm, (4)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности c²может быть выражен двояко:

c² = 9 Ì 10¹⁶ м²/с², или c² = ΔЕ/Δm = 9 Ì 10¹⁶ Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то c² = 931 МэВ/а. е. м. С учетом этого формула (4) примет вид

Е = 931Δm (МэВ). (5)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

Е = 931 Ì 0,04216 МэВ.

Пример 3.При соударении α-частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода ¹₁Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е. Обозначим неизвестное ядро символом ^A_ZX. Так как α-частица представляет собой ядро гелия ⁴₂Не, запись реакции примет вид

⁴₂Не + ¹⁰₅В → ¹₁Н + ^A_ZX.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4 + 10 = 1+А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z =6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода ¹³₆С.

Теперь можно записать реакцию в окончательном виде:

⁴₂Не + ¹⁰₅В →¹₁Н + ¹³₆С.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

Q = 931[(m_He+ m_B) – (m_H + m_C)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим

Q = 931(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06 МэВ.

Пример 4.Удельная проводимость кремниевого образца при нагревании от температуры до температуры увеличилась в 4,24 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников

где постоянная, характерная для данного полупроводника; ширина запрещенной зоны.

Тогда

или, прологарифмировав,

откуда искомая ширина запрещенной зоны

Вычисляя, получим

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒