Эллипс. Гипербола

2 Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, (4)

где - большая полуось, - малая полуось эллипса, - фокусное расстояние. Из определения следует, что . Числа , , связаны соотношением

. (5)

Отсюда следует, что .

Координаты фокусов , . Фокусы эллипса лежат на оси .

Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса, точка O – центром эллипса.

Из уравнения (4) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми , .

Если , то уравнение (4) определяет окружность , рассматриваемую как частный случай эллипса.

Важными характеристиками эллипса являются:

- эксцентриситет показывает степень вытянутости, обозначается буквой («эпсилон»):

(0< <1) (6)

если ~ 0, то эллипс почти круглый, т.е. близок к окружности,

если = 0, т.е. , , то эллипс превращается в окружность,

если ~ 1, то эллипс сплющенный, близок к отрезку .

- директрисы эллипса – прямые с уравнениями

, . (7)

- фокальные радиусы – расстояния и от произвольной точки эллипса до его фокусов ( до левого, до правого) определяются формулами:

, . (8)

Если фокусы эллипса лежат на оси , то , большая ось лежит на оси , малая ось - на оси , , , уравнения директрис . Координаты фокусов , .

Рис.4. Эллипс и его директрисы

Пример 2.1.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точку и имеющего эксцентриситет .

Решение.

Из формул (4)-(6) имеем систему уравнений относительно параметров а, b:

Из второго уравнения находим:

, т.е. , т.е. .

Подставляя это в первое уравнение, получим , , тогда , , .

Уравнение эллипса .

Пример 2.2.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точки и . Найти эксцентриситет эллипса, расстояния от точки до фокусов и уравнения его директрис.

Решение.

Параметры a и b найдем, подставив в уравнение (4) координаты точек A и B. Это приводит к системе

Отсюда, с учетом , находим: , .

Каноническое уравнение эллипса найдено: .

Фокусное расстояние .

Эксцентриситет равен .

Расстояния от точки до фокусов:

; .

Уравнения директрис:

левая директриса: правая директриса: .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дан эллипс . Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

2. Составить уравнение эллипса, проходящего через точку , имеющего эксцентриситет .

3. На прямой найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса .

4. Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от точки в два раза меньше расстояния до прямой .

3 Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы:

(9)

где - действительная полуось, - мнимая полуось гиперболы, - фокусное расстояние. Числа , , связаны соотношением

. (10)

Координаты фокусов , .

Точки и называются вершинами гиперболы, точка O – центром гиперболы.

Важными характеристиками гиперболы являются:

- эксцентриситет

(1< < ) (11)

если ~ 1, то ветви гиперболы широкие, почти вертикальные,

если ~ , то ветви гиперболы узкие, гипербола приближается к оси Ox.

- асимптоты

. (12)

Прямоугольник , центр которого совпадает с точкой О, а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника лежат на асимптотах.

- директрисы гиперболы – прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии, равном . Уравнения директрис:

, . (13)

- фокальные радиусы определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы:

, ; (14)

для точек левой ветви:

, . (15)

Рис. 5. Гипербола, ее асимптоты и основной прямоугольник

Если , то гипербола (9) называется равносторонней (равнобочной). Ее уравнение принимает вид

. (16)

Если фокусы гиперболы лежат на оси , то уравнение гиперболы имеет вид:

(17) эксцентриситет этой гиперболы равен , асимптоты определяются уравнениями , уравнения директрис . Гипербола (17) называется сопряженной гиперболе (9).

Пример 3.1.

Дано уравнение гиперболы . Найти:

1) длины его полуосей;

2) координаты фокусов;

3) эксцентриситет гиперболы;

4) уравнения асимптот и директрис;

5) фокальные радиусы точки

6) на гиперболе найти точку, для которой расстояние от левого фокуса в 3 раза больше, чем от правого.

Решение.

Разделив обе части уравнения на , приведем уравнение гиперболы к каноническому виду: Отсюда:

1) , , т.е. действительная полуось , мнимая полуось .

2) Используя соотношение (10), находим , т.е. . Запишем фокусы гиперболы: , .

3) По формуле (11) находим эксцентриситет гиперболы .

4) Уравнения асимптот и директрис найдем по формулам (12) и (13): и .

5) точка лежит на правой ветви гиперболы , используем формулы (14): , .

6) Найдем на гиперболе точку такую, что . Используя формулы (14) и , получим:

;

Находим и .

Поскольку лежит на гиперболе , то ординаты соответствующих точек найдем из этого уравнения при найденных значениях x:

и, если , то (это число не существует в нужном нам смысле), а если , то .

Итак, получили две точки на гиперболе, удовлетворяющие данным условиям: и .

Пример 3.2.

Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, которая проходит через точку и ее асимптоты имеют уравнения .

Решение.

Подставим координаты точки в уравнение (9): .

Уравнения асимптот гиперболы , поэтому , тогда . Получим систему двух уравнений:

Запишем уравнение гиперболы:

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса .

2. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

3. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса .

4. Дана гипербола . Найти: 1) полуоси и ; 2) фокусы;

3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

5. Дана гипербола . Найти: 1) полуоси и ; 2) фокусы;

3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

6. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.

7. Дана точка на гиперболе . Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки .

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒