Закон больших чисел и предельные теоремы

Закон больших чисел и предельные теоремы

Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклонения от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел.

Неравенства Маркова

Теорема. Если случайная величина может принимать только неотрицательные значения и у нее есть математическое ожидание, то какова бы ни была величина той же размерности, что и , всегда выполняется неравенствf

)≥1 - .

Пример 1. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит 20 лет.

Решение. Пусть случайная величина - срок службы мотора. Из условия задачи - . Требуется оценить снизу вероятность . Эту вероятность можно рассматривать как левую часть неравенства Маркова с . Тогда .

Пример 2. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составляет 2 млн. рублей, вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 руб. равна 0.8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сберегательного банка?

Решение. Пусть - величина случайно взятого вклада, а - число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что . Так как , то по неравенству Маркова получим или , , .

12 3 4 Следующая ⇒