Задание 13 № 382. Решение.. Задание 13 № 383. Решение.. Задание 13 № 384. Решение.. Задание 13 № 385. Решение.. Задание 13 № 386. Решение.. Задание 13 № 387. Решение.. Задание 13 № 388. Решение.. Задание 13 № 389. Решение.. Задание 13 № 390. Решение.. Зад

3. Задание 13 № 382

На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов и Семёнов. У слесаря нет ни братьев, ни сестёр, он самый младший из друзей. Семёнов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

Решение.

Рассмотрим таблицу, в строках которой расположим профессии, а в столбцах — фамилии друзей. Соответствие профессии и фамилии будем обозначать знаком «+» на соответствующем пересечении, и «−», если человек данной профессией не занят.

Семёнов старше токаря, значит, он не токарь, при этом слесарь самый младший, значит, Семёнов не может быть и слесарем. У Борисова есть сестра, кроме того, мы знаем, что у слесаря нет ни братьев, ни сестёр, значит, Борисов не слесарь.

	Борисов	Иванов	Семёнов
слесарь	−		−
токарь			−
сварщик

Из таблицы ясно, что Семёнов — сварщик, а Иванов — слесарь. Продолжая заполнять таблицу, получим:

	Борисов	Иванов	Семёнов
слесарь	−	+	−
токарь	+	−	−
сварщик	−	−	+

Таким образом, получаем, что Иванов — слесарь, Борисов — токарь, Семёнов — сварщик.

4. Задание 13 № 383

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода, причём вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Решение.

Представим расположение жидкостей в сосудах в виде таблицы, где будем отмечать, что жидкость находится в сосуде знаком «+», а то, что её там быть не может знаком «−». В условии явно сказано, что, например, вода и молоко не в бутылке, отметим это в таблице. Из того, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом получаем, что в кувшине не лимонад и не квас.

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	−	−		−
Лимонад			−	−
Квас			−
Вода	−			−

Получаем, что в банке может быть только квас, следовательно, в других сосудах он не находится. Молоко может находиться только в кувшине, значит, в кувшине не лимонад, не квас и не вода. Продолжая заполнять таблицу, получим.

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	−	−	+	−
Лимонад	+	−	−	−
Квас	−	−	−	+
Вода	−	+	−	−

Таким образом, получаем, что молоко — в кувшине, лимонад — в бутылке, квас — в банке, вода — в стакане.

5. Задание 13 № 384

На даче поселились пятеро мальчиков: Андрюша, Боря, Володя, Гена и Дима. Все были разного возраста: одному был 1 год, другому — 2 года, остальным 3, 4 и 5 лет. Володя был самым маленьким, Диме было столько лет, сколько Андрюше и Гене вместе. Сколько лет Боре? Возраст кого еще из мальчиков можно определить?

Решение.

Володя самый маленький, значит, ему 1 год. Возраст Димы равен сумме возрастов Андрея и Гены, нужно из чисел 2, 3, 4, 5 выбрать три числа так, чтобы получилось верное равенство вида a = b + c подходят только числа 2, 3 и 5. Причём, ясно, что Диме 5 лет, а вот возраст Андрея и Гены точно определить нельзя: кому-то из них 2 года, а кому-то 3. Из вышесказанного можно заключить, что возраст Бори 4 года.

Таким образом, можно определить возраст трёх ребят. Боре 4 года, Володе 1 год, Диме 5 лет.

6. Задание 13 № 385

Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: «Мы рады бы отпустить тебя, но по нашему закону ты должен сказать какое-нибудь утверждение. Если оно окажется истинным, мы съедим тебя. Если оно окажется ложным, тебя съест наш ручной лев.» Что сказать Робинзону, чтобы людоеды его отпустили?

Решение.

«Меня съест Ваш ручной лев». Это утверждение не истинно и не ложно.

7. Задание 13 № 386

В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые по каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного заседания выяснилось, что муку украл лишь один из трёх подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?

Решение.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Предположим, что украл Мартовский Заяц, тогда он должен говорить правду. Тогда его показание: «муку украл Болванщик» не соответствует предположению.

2. Если украл Болванщик, то он говорит правду, а Заяц — ложь. Тогда ложное высказывание зайца не соответствует предположению.

Так как сказано, что муку украл лишь один из трёх подсудимых, остаётся только Соня.

Ответ: Соня.

8. Задание 13 № 387

На суде каждый из троих подсудимых обвинял одного из двух других. Оказалось, что первый был единственным, кто говорил правду. Если бы каждый стал обвинять другого из них (но не себя), то второй был бы единственным, кто сказал правду. Кто виновен?

Решение.

Если на суде каждый из троих подсудимых обвинял одного из двух других, то первый мог обвинить второго или третьего. И он бы оказался прав.

Если бы каждый стал обвинять другого из них (но не себя), то второй мог обвинить первого и третьего. И также был прав.

Таким образом, виновен второй или третий и одновременно первый или третий. Поэтому виновен третий.

Ответ: третий подсудимый.

9. Задание 13 № 388

Как, имея лишь два сосуда ёмкостью 5 и 7 л, налить из крана 6 л воды?

Решение.

Представим переливания в виде таблицы. В строках приведены объёмы воды в соответствующих сосудах на каждом этапе переливания.

7-литровый сосуд	0 7 2 2 0 7 4 4 0 7 6
5-литровый сосуд	0 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5

10. Задание 13 № 389

В первый сосуд входит 9 л, во второй — 5 л, а в третий — 3 л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1 л воды? Как отмерить 4 л воды?

Решение.

Из первого сосуда перельём три литра воды в третий сосуд. Из первого сосуда перельём 5 литров воды во второй сосуд, тогда в первом сосуде останется 1 литр воды. Вспомним, что в третьем сосуде теперь 3 литра воды, перельём эту воду в первый сосуд, тогда в первом сосуде окажется 4 литра воды.

Можно представить эти переливания в виде таблицы. В строках приведены объёмы воды в соответствующих сосудах на каждом этапе переливания.

3-литровый сосуд	0 3 3 0
5-литровый сосуд	0 0 5 5
9-литровый сосуд	9 6 1 4

11. Задание 13 № 390

В бочке находится не менее 13 вёдер бензина. Как отлить из неё 8 вёдер с помощью 9-вeдёрной и 5-вeдёрной бочек?

Решение.

9-вёдерная бочка
5-вёдерная бочка
Большая бочка (a>13)	a−9	a−9	a−4	a−4	a−13	a−13	a−8

12. Задание 13 № 391

12-вeдёрная бочка наполнена керосином. Как разлить его на две равные части, пользуясь пятивeдёрной и восьмиведёpной бочками?

Решение.

12-вёдерная бочка	12 4 4 9 9 1 1 6
8-вёдерная бочка	0 8 3 3 0 8 6 6
5-вёдерная бочка	0 0 5 0 3 3 5 0

13. Задание 13 № 392

Как взвесить груз на чашечных весах с гирями, если гири правильные, а весы неправильные?

Решение.

Уравновесим груз гирями. Затем груз уберем, оставив гири на другой чашке весов, и заменив груз таким новым набором гирь, чтобы снова весы оказались в равновесии. Груз весит столько, сколько весит этот набор.

14. Задание 13 № 393

Есть четыре камня, разной массы. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти самый тяжёлый и лёгкий камни?

Решение.

Взвешиваем 1 и 2, 3 и 4 камни. Затем сравниваем массы двух более лёгких и двух более тяжёлых камней двумя взвешиваниями. Всего 4 взвешивания.

15. Задание 13 № 394

Докажите что, среди любых натуральных чисел найдутся хотя бы два числа, которые при делении на n дают одинаковые остатки.

Решение.

При делении на n всего может получиться n различных остатков: 0, 1, ..., n − 1. Таким образом, гарантируется что среди n + 1 остатка найдутся как минимум два одинаковых.

16. Задание 13 № 395

Докажите, что среди любых натуральных чисел найдутся два числа таких, что их разность делится на n.

Решение.

При делении на n всего может получиться n различных остатков: 0, 1, ..., n − 1. Таким образом, гарантируется что среди n + 1 остатков найдутся как минимум два одинаковых. Если у двух чисел одинаковые остатки (при делении на n), то их разность делится на n.

17. Задание 13 № 396

Доказать, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых чётна.

Решение.

Среди трёх чисел найдутся два одинаковой чётности. Сумма двух чисел одинаковой чётности — чётное число.

18. Задание 13 № 397

Можно ли 25 рублей разменять десятью купюрами по 1, 3 и 5 рублей?

Решение.

Нельзя. Сумма 10 нечётных чисел — четна.

19. Задание 13 № 398

Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1. Можно ли все числа сделать равными?

Решение.

Нет. За каждый шаг сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Так как вначале сумма равна 21, то она всегда будет оставаться нечётной. А сумма шести одинаковых чисел чётна.

20. Задание 13 № 399

На столе семь перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Решение.

Нельзя. Чётность перевернутых стаканов не меняется.

21. Задание 13 № 400

На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если сорвать банан и ананас, то вырастет банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если неизвестно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Решение.

Чётность числа бананов не меняется, поэтому, если число бананов было чётным, то оставшийся плод — ананас, если нечётным, — то банан.

22. Задание 13 № 401

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй — 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 2020 голов. (Однако если, например, у Змея Горыныча осталось лишь 3 головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя.) Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов?

Решение.

Иван может за один раз увеличить количество голов на 2016 или уменьшить на 21. Оба этих числа кратны 7. Поэтому, сколько бы Иван не рубил мечами головы животному, число 100 (начальное количество голов) изменится на число, кратное 7. Но само число 100 не кратно 7, поэтому получить 0 голов не получится.

23. Задание 13 № 402

За один ход число, написанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 456. Можно ли из него получить число 14?

Решение.

Можно: 456, 45, 90, 9, 18, 36, 72, 7, 14.

24. Задание 13 № 407

Двое играют в следующую игру. Имеется три кучки камней: в первой — 10, во второй — 15, в третьей — 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

Решение.

После каждого хода количество кучек камней увеличивается на 1. Сначала их было 3, в конце — 45. Таким образом, всего будет сделано 42 хода. Последний, 42-й, ход сделает второй игрок.

25. Задание 13 № 408

Двое по очереди ломают шоколадку 6 х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре, тот, кто делает первый ход, или второй?

Решение.

После каждого хода количество кусков увеличивается ровно на 1. Выигрывает первый игрок.

26. Задание 13 № 409

На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход можно стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать 2, а если разными — 1. Если последняя оставшаяся на доске цифра — 1, то выиграл первый игрок, если 2 — то второй. Кто при правильной игре выиграет?

Решение.

Чётность числа единиц на доске после каждого хода не меняется. Поскольку сначала единиц было чётное число, то после последнего хода на доске не может оставаться одна (нечётное число!) единица. Выигрывает второй игрок.

27. Задание 13 № 410

Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били Друг друга. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из игроков выиграет?

Решение.

После каждого хода и количество вертикалей, и количество горизонталей, на которые можно поставить ладей, уменьшается на 1, поэтому игра будет продолжаться ровно 8 ходов. Последний, выигрышный ход будет сделан вторым.

28. Задание 13 № 411

Двое игроков по очереди расставляют между числами от 1 до 20, выписанными в строчку, «+» и «−». После того. как все места заполнены считается результат. Если он чётен, то выигрывает первый игрок, если нечётен, то — второй. Кто из игроков выиграет?

Решение.

Чётность результата не зависит от расстановки плюсов и минусов, а зависит только от количества нечётных чисел в первоначальном наборе. Так как в данном случае их 10 (т. е. чётное число), то выигрывает первый игрок.

29. Задание 13 № 412

В строчку написаны 10 единиц. Лёша и Витя по очереди ставят между какими-нибудь соседними числами знак: «+» или «−». Когда между всеми соседними числами поставлен какой-нибудь знак, вычисляется результат. Если полученное число чётное, то выигрывает Лёша, а если нечётное, то — Витя. Кто из ребят выиграл?

Решение.

30. Задание 13 № 413

Вася и Петя выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Докажите, что какие 6ы цифры он не писал, Петя всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 4.

Решение.

Если Вася 11-м ходом ставит чётное число, то Петя ставит 4, а если Вася ставит нечётное число, то Петя ставит 2.

31. Задание 13 № 414

Двое выписывают шестизначное число, выставляя по очереди по одной цифре, начиная со старшего разряда. Если получившееся число разделится нацело на 7, то выигрывает сделавший последний ход, иначе — начинающий. Кто выиграет в такой игре?

Решение.

Из 10 чисел с последней цифрой 0, 1, ... , 9 всегда найдется делящееся на 7, поэтому выигрывает второй.

32. Задание 13 № 415

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

Решение.

Среди этих трёх чисел, идущих подряд, есть хотя бы одно чётное число и одно число, делящееся на 3. Поэтому их произведение делится на 6.

33. Задание 13 № 416

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30.

Решение.

Среди чисел есть числа, кратные 3, 5 и два чётных, одно из них делится на 4.

34. Задание 13 № 417

Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми купюрами, Коля — пятирублёвыми, а всего они дали в кассу меньше 10 купюр?

Решение.

15 руб. Цена лыж делится на 3 и на 5.

35. Задание 13 № 418

Найти такие четыре натуральных числа, что произведение любых трёх из них, сложенное с единицей, делится на четвёртое.

Решение.

Например, числа: 1, 2, 3, 7.

36. Задание 13 № 419

Чтобы узнать, является ли число 1601 простым, его стали последовательно делить на 2, 3, 5 и т. д. На каком простом числе можно прекратить испытания?

Решение.

Число 1601 лежит между числами 40 · 40 = 1600 и 40 · 41 = 1640. Поэтому если 1601 разлагается в произведение двух сомножителей, то меньший не больше 40. Наибольшее простое число, меньшее 40, равно 37.

Ответ: 37.

Примечание.

Число 1601 не разделится без остатка на простые числа 2, 3, 5, ..., 37. Из этого можно заключить, что 1601 — простое число.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒