Лекция №1. Элементарная геометрия. Построение курса геометрии. Основные понятия геометрии.

Лекция №1

Элементарная геометрия

Построение курса геометрии. Основные понятия геометрии.

Геометрия – математическая дисциплина, рассматривающая и изучающая свойства различных объектов, расположенных определенным образом в пространстве.

Как и в любой математической дисциплине, определить все понятия, встречающиеся в геометрии, невозможно. Поэтому при любом построении курса элементарной геометрии приходится выделять несколько геометрических понятий, которые берутся за основные, первичные, или неопределяемые. Считается, что эти понятия обладают известными свойствами и зависимостями, которые принимаются без доказательства и называются аксиомами.

К таким неопределяемым понятиям в элементарной геометрии относятся:

· точка

· прямая

· плоскость

· отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать»

· отношение порядка для точек на прямой, выражаемой словом «лежать между»

· длина для отрезков и

· градусная мера для углов

Все что предполагается известным об этих понятиях выражается аксиомами. впервые систему аксиом мы встречаем в «Началах» Евклида, однако его система аксиом была неполной.

Современная система аксиом состоит из пяти групп. Например:

· Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну

· Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну

(аксиомы принадлежности)

· Если точка В лежит между точками А и С, то все три точки принадлежат одной прямой

· Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими

(аксиомы порядка)

· Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную

( аксиома параллельности)

С помощью основных понятий определяются все остальные понятия. Все предложения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть доказаны чисто логическим выводом из этих аксиом. Такие предложения называются теоремами.

Предложением, обратным данному, называется другое предложение, в котором заключение полностью или частично совпадает с условием первого предложения и обратно.

Следствием называется предложение, непосредственно вытекающее из теоремы.

Леммой называется подготовительное предложение, вводимое для того, чтобы облегчить доказательство последующего предложения.

Дать определение чему-либо - значит объяснить, что это такое, ссылаясь на неопределяемые понятия или другие понятия, которые уже должны быть известны.

Строение курса геометрии можно охарактеризовать так:

1. Перечисляются основные неопределяемые понятия геометрии

2. Формулируются аксиомы

3. На основе введенных понятий даются определения всем остальным геометрическим понятиям

4. На основе аксиом и определений доказываются аксиомы, которые в свою очередь используются для доказательства других теорем в курсе геометрии.

12 3 4 Следующая ⇒