Пример 1-8.

Пример 1-8.

1) Функция f(x) = 2^x является отображением N в N и N на М₂ⁿ.

2) Всякая нумерация счетного множества является его отображением на N.

3) Функция не полностью определена, если ее тип N®N, и полностью определена, если ее тип N®R или R₊®R (R₊ — положительное подмножество R).

4) Пусть зафиксирован список {a₁, a₂, …, a_n} всех элементов конечного множества А. Тогда любой вектор из Aⁿ можно рассматривать как описание функции f_i: А®А (т.е. преобразования А), определяемой следующим образом: , т.е. значение f_i для a_j равно j-й компоненте v_i. Число всех преобразований А равно, следовательно, . Аналогично всякую функцию типа N®N можно представить бесконечной последовательностью элементов N, т. е. натуральных чисел; отсюда нетрудно показать, что множество всех преобразований счетного множества континуально.

5) Каждое натуральное число n единственным образом разлагается на произведение простых чисел (простых делителей этого числа). Поэтому, если договориться располагать простые делители n в определенном порядке (например, в порядке неубывания), то получим функцию q(n) типа N® , отображающую N в множество векторов произвольной длины. Например, q (42) = (2, 3, 7), q (23) = 23, q (100) = (2, 2, 5, 5). Это отображение не является сюръективным, так как в область значений q не входят векторы, для компонент которых не выполнено условие неубывания.

6) Каждому человеку соответствует множество его знакомых. Если зафиксировать момент времени (например, 10 января 1976 г., 5 ч 00 мин), то это соответствие будет однозначным и явится отображением множества М людей, живущих в этот момент, в множество подмножеств М.

Функция типа A₁ ´ A₂ ´ … ´ A_n®B называется n-местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет n аргументов: f(a₁, a₂, …, a_n)=b, где a₁ÎA₁, a₂ÎA₂, …, a_nÎA_n, bÎВ. Сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на R, т. е. функциями типа R²®R. Таблица выигрышей лотереи задает двухместную не полностью определенную функцию, которая устанавливает соответствие между парами из N² (серия, номер) и множеством выигрышей.

Пусть дано соответствие G Í А ´ В. Если соответствие Н Í В ´ А таково, что (Ь, а)Î N тогда и только тогда, когда (a, b)Î G, то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G^-1. Если соответствие, обратное к функции f: А®В, является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f, и обозначается f^-1. Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к f: А®В, требуется, чтобы каждый элемент b из области значений f имел единственный прообраз. Это в свою очередь означает, что для функции f: А®В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимно-однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒