![]()
|
|||||||
Практическое занятие №5.. Краткие теоретические сведения.. Общие сведения.. где незавершенная запись в конце скобок означает, что за могут браться и иные частные производные m-го порядка от и.Стр 1 из 4Следующая ⇒ Практическое занятие №5.
Тема«Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных ».
ЦелиНаучиться решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных и дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительно частных производных.
Краткие теоретические сведения. Общие сведения. До сих пор, рассматривая дифференциальные уравнения, мы занимались лишь обыкновенными дифференциальными уравнениями. Однако в ряде вопросов самой математики, а также ее приложений (особенно к физике) встречается необходимость разыскивать функцию (1) где незавершенная запись в конце скобок означает, что за могут браться и иные частные производные m-го порядка от и. Порядком m дифференциального уравнения в частных производных называется наивысший из порядков частных производных, входящих в это уравнение. Всякая функция и = φ(х1} х2, ..., хп), удовлетворяющая уравнению (1), называется его решением. Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, здесь снова возникает вопрос об общем решении и параметрах (произвольных «постоянных»). Вопрос этот, однако, для уравнений в частных производных представляет более сложную проблему, чем для обыкновенных дифференциальных уравнений. Не давая общих определений, сюда относящихся, мы сделаем по этому поводу лишь некоторые замечания. Если, например, уравнение в частных производных первого порядка для функции и от п переменных х1, х2, ,.., хп включает только одну какую-либо частную производную, например х2, ха, ..., хп, мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно и как функции от х1,и тогда общее решение такого уравнения будет иметь вид:
Если, далее, это уравнение с одной частной производной (например, взятой по хх) будет второго (или вообще n-го) порядка, то очевидно, следует ожидать, что в общем решении будет содержаться две (или вообще п) таких произвольных функций от остальных аргументов х2, х3, ..., хп. Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений m-го порядка в частных производных, разрешенных относительно одной из своих частных производных рассматривается вопрос о частном решении, удовлетворяющем некоторым специальным условиям (которые однозначно определяют это решение для (2), хотя бы из некоторого класса функций). Существуют теоремы, которые доказывают при тех или иных ограничениях существование и единственность такого решения. В вопросах математической физики часто встречаются уравнения в частных производных второго порядка и, прежде всего, однородные относительно этих производных уравнения. Для случая функции и (х, у) двух переменных такое уравнение имеет вид:
Запись коэффициентов здесь произведена по аналогии с тем, как записывают уравнение кривой второго порядка в аналитической геометрии, и аналогия эта дает основания для классификации уравнений вида (3) по дискриминанту: Функция и(х, у), являющаяся решением дифференциального уравнения (3), часто задается в виде суммы некоторого ряда
Основные типы уравнений математической физики Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. I. Волновое уравнение:
|
|||||||
|