ЧИСЛЕННОЕ Решение задачи об изгибе балки на упругом основании методом конечных элементов

ЧИСЛЕННОЕ Решение задачи об изгибе балки на упругом основании методом конечных элементов

Предварительное замечание.

Пусть задан функционал вида

, (1)

где – симметричная положительно определенная матрица, т.е. при всех . Свойство положительной определенности соответствует положительности всех собственных чисел матрицы . Найти .

Условие минимума , (2)

т.е. существует взаимно однозначное соответствие между задачей о минимуме функционала (1) и системой линейных уравнений Ax = b.

1. Общая постановка задачи об изгибе балки на упругом основании (модель Винклера).

Суть модели Винклера состоит в предположении, что реакция основания в произвольной точке балки x пропорциональна ее прогибу в этой точке: . Поэтому графически такую модель можно представить пружинками, не связанными друг с другом, каждая из которых имеет жесткость, пропорциональную прогибу балки в этой точке (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема балки.

Напряженно-деформируемое состояние такой балки соответствует решению задачи о минимуме следующего функционала (функционала энергии): функция прогибов балки y(x), вызванных силами P, распределенной нагрузкой q и изгибающими моментами M, является условием минимума функционала энергии балки (т.е. принесет минимальное значение этому функционалу)

(3)