Решение.. Задача 15.. Решение.. Однородные системы.. Практика 11 (15 дек 932025, 17 дек 932024)

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Решение.

Вычёркивается лишнее 3-е уравнение.

Базисный минор не может быть в 1 и 2 столбце. Или 1 и 3, или 1 и 4. Лучше 1 и 4, чтобы делить на 5.

Получили систему:

Из второго: подставляем в 1-е:

Общее решение: ,

Частное решение: . Подставим во все 3 уравнения, проверим.

- - - Перерыв - - -

Задача 15.

Решение.

Получили систему:

свободная переменная, базисный минор в 1,2,3 столбцах.

Из последнего: из второго: .

= =

Общее решение:

, , .

Однородные системы.

Задача 16. Решить однородную систему .

Решение.Можно записать основную матрицу и там вычесть 1-ю строку из 2-й, впрочем, можно для небольшой системы сделать это и сразу в системе, вычесть 1-е уравнение из 2-го. Получится:

Ранг равен 2, а неизвестных 3, 3-я неизвестная свободная, переносим вправо. Тогда:

Из 2-го уравнения , тогда , а значит .

Общее решение: , . В виде вектора: .

Присвоим , получим остальные неизвестные.

ФСР состоит всего из одного вектора: . Все остальные решения пропорциональны этому.

Если бы, например, присвоили , получили бы . Это потому, что всего одна свободная переменная.

Ответ.Общее решение: , ФСР .

Практика 11 (15 дек 932025, 17 дек 932024)

Задача 17.Решить систему

Решение.Минор, состоящий из 1 и 2 столбцов, уже в треугольной форме. Базисный минор порядка 2. Тогда 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. .

уже фактически выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить .

Общее решение: { , }.

Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ. Общее решение { , }.

ФСР { , }.

Замечание. Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они = 0), но туда перенесены свободные переменные. То есть идея решения методом Гаусса во всех этих 3 параграфах одна и та же, но справа разные типы объектов.

Задача 18. Решить однородную систему

Решение. Запишем основную матрицу, преобразуем её.

снова представим в виде системы:

базисный минор порядка 2, можно обвести в левом углу, поэтому 3-я и 4-я переменная - свободные. Здесь их уже две, так как , поэтому . Перенесём их через знак равенства.

здесь уже выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить и .

, .

Общее решение: , .

В виде вектора: .

, получим

, получим .

Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения. Любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы.

Ответ.Общее решение: .

ФСР это множество из 2 векторов: { , }.

Задача 19. Решить однородную систему, найти ФСР.

Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.

Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. .

Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений.

перенесём свободные неизвестные вправо:

из 2 уравнения , подставим это в 1-е,

будет , то есть .

Общее решение: , .

В виде вектора:

Построим ФСР из 2 векторов.

, получим

, получим .

Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена.

Ответ. Общее решение: , .

ФСР из 2 векторов: .

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒