Практика 9. (8 дек 932025, 10 дек 932024)

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Практика 9. (8 дек 932025, 10 дек 932024)

Задача 50. Найти , при котором ранг равен 2.

Решение. Преобразуем:

Последняя строка состоит из нулей при , т.е. .

Ответ. .

Задача 51. Найти , при котором ранг равен 2.

Решение.

Ответ. .

Глава 3.

Системы линейных алгебраических уравнений.

Задача 1.Решить систему линейных уравнений .

Решение. А. Матричным методом.

Запишем систему в виде: .

Найдём обратную матрицу для А.

= = = .

Б. Методом Крамера.

= = .

Ответ. .

Метод Гаусса.

Задача 2. Решить систему уравнений

Решение.Построим расширенную матрицу и преобразуем её.

чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо:

а) из 2-й строки вычесть 1-ю;

б) из 3-й строки вычесть удвоенную 1-ю.

Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться.

Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы

В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна.

А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, подставляя туда и . Итак, .

Ответ. =2, =1, =1.

Можно ответ записать и в виде вектора: .

Ответ. =2, =1, =1.

Задача 3. Решить систему уравнений

(как в прошлой, но у элемента изменили знак).

Решение.Построим расширенную матрицу и преобразуем её.

а) из 2-й строки вычесть 1-ю;

б) из 3-й строки вычесть удвоенную 1-ю.

Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы

А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, .

Ответ. =5, , =4.

Можно ответ записать и в виде вектора: .

Задача 4. Решить систему уравнений

Решение. При построении расширенной матрицы, сразу же домножим 2-е и 3-е уравнения на такие коэффициенты, чтобы в начале строки были числа, кратные угловому элементу. А именно, 2-ю строку на 2, а 3-ю строку на 4. Так надо, чтобы потом в методе Гаусса можно было не домножать на дробные коэффициенты при вычитании строк.

Чем ниже, тем меньше переменных. Идея метода Гаусса соблюдена.

Сначала можно найти х2, затем х3, позже х1.

, тогда . Тогда .

Замечание. Впрочем, в данном случае можно заметить, что совпадает существенная часть 1 и 3 строк, и если сразу вычесть 1-ю строку из 3-й, то можно будет тут же найти .

Из 3-го уравнения теперь следует .

А далее можно составить более простую систему на , уже с учётом .

Теперь домножим, чтобы получить кратное, и приведём к треугольной структуре.

Из последнего , а далее .

Ответ. , , .

- - - Перерыв - - -

Задача 5. Решить систему уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу.

Получили эквивалентную систему:

, из последнего уравнения, очевидно, ,

тогда из предпоследнего , и из 1-го .

Ответ. .

Задача 6. Решить систему уравнений

Решение.Во-первых, можно всё 2-е уравнение сократить на 2, так удобнее для решения, числа будут меньше. Затем обнуляем ниже углового элемента: вычитаем из 2-го уравнения удвоенное 1-е, а также 3-го 1-е.