Контрольное задание 3.. Задача 3.2

Контрольное задание 3.

Задача 3.1.Короткий чугунный стержень сжимается продольной силой F, приложенной в точке А. (рис.V.25). Требуется:

1) проверить условие прочности стержня, если допускаемые напряжения при сжатии а при растяжении

2) определить положение нейтральной оси и построить эпюру σ , приняв за базу перпендикуляр к нейтральной оси.

Пример решения:

Исходные данные: F = 200 кН; a = b = 4 см.

Поскольку в формулу для определения напряжений при внецентренном растяжении - сжатии входят геометричес-кие характеристики сечения и координаты точек сечения в системе главныхцентральных осей инерции, то в первую очередь следует найти положение этих осей.

Сечение (рис. V.25) имеет горизонтальную ось симметрии z_o, которая и является одной из главных центральных осей инерции.

Проведем ось y вертикально, так, чтобы все сечение располагалось спра-ва от нее. Представим сплошное сечение вертикальным прямоугольником пло-щадью А=4 16=64 см² и двумя горизонтальными, площадью А=12 4 = 48 см², каждый. Центры тяжести прямоугольников удалены от оси у на рассто-янии z = 2 и z =10 см, соответственно. Координата центра тяжести сложного се-чения:

а общая площадь сечения (ΣA_i) равна 160 см².

Рис. V.25

Таким образом, определена другая главная центральная ось инерции y_o, (см. рис.V.25). Моменты инерции сечения относительно этих осей:

где - расстояния центров тяжести прямоугольников до осей y_o и z_o соответ-ственно.

Изгибающие моменты, входящие в формулу для определения напряже-ния, создаются сжимающей силой F = -200 кН, которая приложена в точке А с координатами , тогда:

;

Наибольшие значения напряжений в растянутой и сжатой зонах можно вычислить, если известны координаты «опасных» точек. Эти точки наиболее удалённые от нейтральной оси, положение которой определяется отрезками у_о, z_o, отсекаемыми ею на осях координат. При этом:

Квадраты радиусов инерции равны

Итак,

Проведя нейтральную ось (н.о. на рис. V.25), находим наиболее удален-ные от нее точки С (-6.8; 8) и Д (9.2; -8).

Определим напряжения в этих точках:

На перпендикулярах к базовой линии отложим в масштабе значения нап-ряжений для точек С и Д и, соединив эти точки прямой линией, построим эпю-ру σ. Используя эту эпюру легко определить напряжения в любой точке сече-ния. Для этого достаточно восстановить перпендикуляр к базовой линии из этой точки ( например из точки А), измерить отрезок nnи, зная масштаб построения эпюры, определить величину напряжения в точке.

Условие безопасной прочности в сжатой зоне выполняется, т.к. < МПа, а условие прочности в растянутой зоне , не выполняется, т.к. 34.3 мПа больше допускаемого напряжения (30 МПа) и пере-грузка , не допустима.

Исходные данные для задачи 3.1 приняты в соответствии с рис. V.26 и таблицей V.5, а для задачи 3.2 рис. V.27 и таблица V.6.

Задача 3.2

На стержень круглого поперечного сечения, расположенный в горизон-тальной плоскости и имеющий прямые углы в точках излома действует верти-кальная нагрузка в соответствии с изображением на рис. V.28, а).

Требуется:

1) построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутя-щих моментов;

2) установить опасные сечения, найти для них величины расчетного момента по четвертой теории прочности и диаметр стержня, приняв

Исходные данные: F=3кН, q = l=2м.

Рис. V.26

Таблица V.5

схема											а
столбец											а
n см k см											б
F кН											а
											б

V.27

Таблица V.6

Схема							а
столбец							а
F кН							б
q							а
l м	1.5	2.5	3.5	1.5	2.5	3.5	б
σ_adm МПа							в

Рис. V.28

Используя метод сечений, определим изгибающие и крутящие моменты на каждом участке (рис. V.28, а). Обозначим для каждого участка местную сис-тему координат с началом в центре тяжести сечения и осями, направленными по направлению главных осей инерции поперечного сечения: вдоль оси стерж-ня –x; перпендикулярно оси - y, z, образующие правую систему координат.

Участок I ( )

Участок II ( ).

;

Участок III ( )

;

Участок IV ( )

Эпюры M_z и Т даны на рис.V.28, б, в, г. Опасными могут быть сечение в заделке, где M_z=-18 кНм и Т=20 кНм.

Определяемый по четвертой теории прочности эквивалентный момент для круглого сечения

В заделке

На втором участке стержня, где M_z= -20 кНм и Т= -10 кНм, имеем

Анализируя расчеты, делаем вывод, что наиболее опасным является се-чение в заделке.

Определим диаметр стержня, при котором будет обеспечена безопасная прочность

Для круга осевой момент сопротивления и он должен быть не менее 156.3 см³, тогда диаметр стержня

Задача 3.3

Для стойки (рис. V.29) указанного сечения, одинаково закрепленной в плоскостях xy и xz потери устойчивости и сжатой центрально приложенной силой F требуется подобрать размеры поперечного сечения, c использованием коэффициента продольного изгиба с нею. Материал - сталь Ст-3.

Исходные данные: F =1000 кН; l =1.5 м; R= 220 МПа. Для стойки, имеющей защемляющую и шарнирную опоры, коэффициент приведенной длины μ = 0.7 Определим геометрические характеристики сечения: