Расчет статически неопределимых плоских систем.

V.2. Контрольное задание №1

1. Построить эпюры внутренних силовых факторов для заданных балок (рис. V.2, V.3), рам(рис.V.4, V.5) и вала (V.6), приняв q, F, M_e, и l в соответ-ствии с индивидуальным заданием.

2. Для схемы (рис. V.2): - подобрать балку двутаврового поперечного сечения из стали, считая, что σ_у=240 МПа, n=1,6; ;

-построить эпюры σ и τ для опасного сечения балки;

-методом начальных параметров определить прогиб в точке К (равноуда-ленной от правой и левой опоры) и построить примерный вид упругой линии.

3. Для схемы (рис. V.3) подобрать прямоугольное сечение балки из чу-гуна (если высота сечения h в два раза больше ширины b), приняв, МПа, n =2. Построить эпюры σ и τ для опасного сечения балки.

4. Для схемы (рис. V.4) проверить прочность составного сечения, представленного на схеме (рис. V.6) , полагая σ_adm=160 МПа.

5. Для схемы (рис. V.7) подобрать размеры сплошного круглого вала на каждом из участков, полагая, что на левом участке вал кольцевого сечения и дать эскиз вала.

Таблица V.1

Схема											а
столбец
F kH			14								б
q	6										в
M_e kHм							12				а
l м	2.2	2.4	2.6	2.0	2.8	3.0	2.0	2.4	2.6	3.0	б
h м										-2.5	в

В таблице V.1 даны исходные данные для расчётных схем изображённых на рис. V(2,3,4,5). К примеру, если последние три цифры вашей зачётки 137, то следует решать задачу по схеме №7, приняв F = 14кH, q = 6 M_e=12

l =2.6м, h = 2м.

Рис. V.2

Рис. V.3

Рис. V.4

Рис. V.5

Рис. V.6

Таблица V.2

строка	Полоса	Швеллер	Двутавр	Равнобокий уголок
Схема рис.V.6	Полоса	Швеллер	Двутавр	Равнобокий уголок
	300
	310
	280
	280
	320	18а
	320
	320
	300
	300
	300
а	б	в	а	б

Рис. V.7

Таблица V.3

схема											а
столбец
М_е кНм											б
τ_adm МПа											в
d/D	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.9	0.8	0.6	0.5	б

Рассмотрим некоторые типовые примеры. Для балки (рис. V.8) исходные данные:

F =12 кН; q = 6

M_e=18 кНм; l =6 м.

Рис. V.8

Изобразим расчетную схему балки, указав длины участков, величины внешних нагрузок и направления реакций. Левая опора А – шарнирно - подвиж-ная, и в ней в общем случае могут быть вертикальная составляющая реакции R_A и горизонтальная -H_A. Правая опора - шарнирно-подвижная и в ней вертикальная реакция R_B.

Чтобы составить выражения для Q, M, предварительно следует опреде-лить реакции опор.

Спроектировав все силы на горизонтальную ось x, установим, что H_A=0.

R_B=11 kH.

R_A=1 kH.

Проверка:

Полученные знаки «плюс», свидетельствуют о правильном выборе нап-равлений для R_A и R_B. Если реакция получена со знаком «минус», следует из-менить направление ее вектора на противоположное.

Имеем три участка. Проведем в них сечения и покажем текущие коорди-наты. Для первого участка рассмотрим в равновесии левую часть, а для второго и третьего- правую.

Участок I ( )

;

где qx₁- равнодействующая распределенной нагрузки, а - плечо этой силы.

Величина линейно зависит от x, поэтому достаточно двух значений для построения эпюры Q_y. Закон изменения - параболический, и для пос-троения эпюры необходимо иметь по крайней мере три значения.

Дифференциальная зависимость при изгибе позволит заклю-чить, что экстремальное значение функции будет при которое следует определить из условия Q=0:

Таким образом,

кHм

Положительные значения Q_y откладывают над базовой линией. Положи-тельные значения изгибающих моментов M_z откладывают под базой (строят M_z на «растянутом волокне»). Вспомним, что изгибающий момент принято счи-тать положительным в случае, если растянуты нижние слои балки.

Участок II ( )

Участок III ( )

Распределенная нагрузка на соседнем (втором) участке представляется в виде равнодействующей 2q, приложенной в середине этого участка. Таким образом,

Эпюры Q_y и M_z представлены на рис. V.8, б, в.

Обратим внимание, что в сечениях, где приложены сосредоточенные си-лы R_A, F, R_B на эпюре Q_y имеем скачки на величину этих сил в направлении сил (если двигаться слева направо).

На третьем участке распределенная нагрузка отсутствует и величина постоянна, изменяется по линейному закону. Площадь эпюры равна =1кН·2м =2кHм, и изменение изгибающего момента . На этом участке и изменяется от - 10 кНм до 8 кНм, т.е. увели-чился на 2 кНм.

На первом участке длинной 2м имеем и по мере возрастания x поперечная сила уменьшается от +1 до -11кН (на 12 кН) по линейному закону. Изгибающий момент изменяется по закону параболы с экстремальным значением 0,08 в сечении, где

В сечении С приложена пара сил M_e=18 кНм, которая растягивает верх-ние волокна, и на эпюре М_z, при переходе со второго на третий участок, име-ем скачок на -18кНм.

Для консоли, изображенной на рис. V.9,а, эпюры Q_y и M_z можно пос-троить без определения реакций, если для каждого участка рассматривать часть балки, не содержащую опору.

Рис. V.9

Участок I ( )

Участок II ( )

Построив эпюры (рис. V.9, б, в), следует провести анализ аналогичный тому который имел место в предшествующей задаче.

Перейдем к построению эпюр внутренних усилий в ломанных брусьях (рис.V.4,5). В общем случае в поперечных сечениях возникают три внутренних силовых фактора: продольная сила N, поперечная сила Q_y и изгибающий мо-мент M_z. Вводится подвижная прямоугольная система координат и каждый участок рассматривается как балка. Правильность построения эпюр M_z контро-лируют условием равновесия узлов.

Построению эпюр для шарнирно опертого бруса (рис.V.10, а) должно предшествовать определение реакций:

; ;

; ; кН;

Проверка: : .

Рис. V.10

Имеем три участка. Направления обхода обозначены на рисунке.

Участок I ( )

N=0; кН;

При =0 изгибающий момент растягивает верхние волокна, и ординату M_z = - 36 кНм откладываем сверху; при x₁= 6 растягиваются нижние волокна (ордината M_z= +36 кНм - снизу). На эпюре M_z знак не ставят, так как расположение эпюры на «растянутом волокне» дает исчерпывающую информацию.

Участок II ( )

Используем правило знаков для правой части бруса

кН;

В начальном сечении второго участка M_z растягиваются правые волокна (эпюра-справа), в конечном сечении- левые волокна (эпюра- слева). Эпюра Q_y строится в соответствии с принятой ранее ориентацией вертикального участка в отношении правила знаков.

Участок III ( )

кН;

Определим значение х_3э, при котором :

; ;

Эпюры представлены на рис.V.10 б, в, г. Эпюра M_z на участке III - парабола, выпуклость которой направлена в сторону действия распределенной нагрузки q.

Для проверки правильности построения эпюры M_z выделим узлы А и С посредством сечений, бесконечно близких к точкам А и С .

В узле А ( рис. V.10, e) не приложена внешняя пара сил и, рассматривая эпюру M_z, можно отметить, что вертикальный стержень в непосредственной близости от узла растянут слева моментом 18 кНм, а горизонтальный стержень растянут снизу моментом 18 кНм. Точкой обозначено растянутое волокно стер-жня, стрелкой - направление момента, который вызвал это растяжение. Следо-вательно, узел А находится в равновесии.

В узле С ( рис.V.10,д) приложена внешняя пара сил M_z=18 kHм, направ-ленная по часовой стрелке. Вертикальный стержень изгибается моментом 18 кНм (эпюра справа), который растягивает правое волокно, а горизонтальный стержень - моментом 36 кНм, растягивающим нижнее волокно. Суммируя упомянутые моменты можно заключить, что условие равновесия узла С соблюдается.

Для рамы, имеющей защемленную опору (рис. V.11, а) эпюры N, Q_y, M_z можно построить, не определяя реакции опоры (M_A, H_A, R_A). Обход участков следует вести со стороны свободного конца.

Участок I ( )

кН;

Участок II ( )

кН; кН;

Участок III ( )

кН; кН;

Узел С Рис. V.11

Узел В

Эпюры N, Q_y, M_z, показаны на рис. V.11, в, г, д.

Моменты относительно оси z₃ создают пять внешних нагрузок. Пос-кольку в равновесии рассматривается правая часть рамы, то правило знаков для M_z (M_z > 0) позволяет заключить, что обе пары сил и распределенная нагрузка дают положительные составляющие в выражении для моментов, а силы F, при-ложенные в точках В и Д - отрицательные. Распределенную нагрузку участка СД следует заменить равнодействующей 2q, тогда плечо этой силы (x₃-1).

Условие равенства нулю в узлах B и C показаны на рис. V.11, е, ж.

Переходя к расчетам на прочность следует вспомнить, что допускаемое напряжение

получают уменьшая предельное напряжение в n раз, где n - коэффициент запа-са.

Для пластичных материалов предельное напряжение - предел текучести – σ_у, а для хрупких временное сопротивление –σ_u. Для хрупких материалов, имеющих существенно отличающиеся ( в несколько раз) временное сопротив-ление сжатию и временное сопротивление растяжению проводят про-верку безопасной прочности в сжатой и растянутой областях.

В соответствии с пунктом 2 контрольного задания №1 подберем балку двутаврового поперечного сечения из стали с МПа; при n = 1,6. Усло-вие безопасной порочности имеет вид:

Величину M_z_,мах=10.08 кНм берем из эпюры (рис.V.8, в), а допускаемые напряжения равны.

МПа.

Определим осевой момент сопротивления:

По сортаменту ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 14 (рис.V.12, а), у которого осевой момент сопротивления ближайший больший к расчетному значению. Выпишем параметры I № 14: h =14 см; b = 7.3см; S = 0.49 см; t = 0.75 см; A=17.4 см²; I_z=572 см⁴; W_z=81 см³ ; .

Определим величину σ_мах, если балка будет изготовлена из I №14, в сече-нии с наибольшим изгибающим моментом.

Наибольшие касательные напряжения будут в сечении, где самая боль-шая по абсолютной величине поперечная сила Q = 11 кН (из эпюры рис.V.8, б).

Касательные напряжения в любой точке сечения при поперечном изгибе определяют по формуле Журавского:

где Q- поперечная сила, I_z - момент инерции сечения, - статический момент отсеченной части, b(y) - ширина сечения, измеренная по линии, параллельной оси z, проходящей через искомую точку.

Наибольшего значения напряжений достигает на нейтральной оси се-чения:

Для вычисления τ в точке L сечения стенки в месте перехода ее в полку следует определить статический момент осеченной части (полки).

Рис. V.12

Зная характер изменения σ (линейный) и τ (параболической) по высоте сечения, строим эпюры (рис.V.12, б, в).

Расчет на прочность балки при изгибе должен обеспечить ее безопасную прочность, но это не гарантирует необходимую жесткость балки. Определяют максимальные прогибы балки, которые не должны превышать значений проги-бов, устанавливаемых в соответствии с её эксплуатационным назначением.

Существует несколько способов определения перемещений. Используем метод начальных параметров с универсальной формулой:

EIV=EIV_o+EI x+

где: M_i, F_i, q_i - внешние нагрузки, включающие и опорные реакции, распо-ложенные левее (знак «Л» над знаком суммы) от рассматриваемого сечения;

a_i, b_i, с_i, d_i- расстояния от начала координат до сечения, где приложены эти нагрузки;

V - перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки x (если перемещение вверх по оси y, то V > 0);

V_o - перемещение в начале координат О;

- угол поворота сечения в начале координат по отношению к исходному (ненагруженному)положению. Если поворот против часовой стрелки, по >0.

Рис. V.13

Начальные параметры V_o и определяют из граничных условий (огра-ничений, накладываемых опорами).

В соответствии с условиями вывода формулы начало координат О при-нято располагать в крайнем левом сечении балки (сохраняя его общим для всех участков), ось y направлять вверх, а ось x - вправо (рис. V.13). Внешние силы, показанные на этом рисунке, принимаются положительными, (они вызывают изгибающие моменты, растягивающие нижнее волокно). Если направления внешней силы противоположно, то в уравнении прогибов ее записывают со знаком «минус».

Определим перемещение точки К балки. Расчетная схема и эпюра М_z приведена на рис.V.14, а, б.

Граничные условия в данном слу-чае имеют следующий вид: а) V_A=0, при Х=0; б) V_B=0, при Х=6м, (опоры не позволяют балке перемещать-ся в точках А и В в вертикальном направ-лении. Левая опора совпадает с началом координат V_А=V_о=0. Следовательно один из начальных параметров определен. Для нахождения второго (

), ис-пользуем условие (б). В уравнение должны войти все внешние усилия, расположенные левее сечения В.

Рис. V.14 .

В сечении С распределенная нагрузка обрывается, поэтому для восста-новления силовой схемы начиная с сечения С и до правого конца балки вводят «компенсирующую нагрузку» q противоположного направления (что показано пунктиром), которая учитывается слагаемым + . Нагрузка q на учас-ток NB находит отражение в слагаемом . Таким образом получаем:

;

=10.67 кНм².

Итак,>0, следовательно, сечение в начале координат поворачивается против часовой стрелки (рис.V.14, в).

Для определения прогиба в точке К (при х=3м) составим уравнение:

Таким образом точка К перемещается вверх на 1.62 см.

Дополнительную информацию можно получить, исследуя характер эпю-ры М_z. Так на участках AL и NB эпюра расположена под базовой линией, следо-вательно растянуты нижние волокна и кривизна упругой линии (эпюры проги-бов) положительна (кривая обращена вогнутостью вверх). На участке LN - вверх, так как эпюра моментов расположена над базовой линией, растянуты верхние волокна, и кривизна упругой линии отрицательна (кривая обращена вогнутостью вниз).

Выполняя п.3 контрольной работы №1 ,следует из эпюры для схемы V.3 взять наибольшее значение М_z_,_max. Пусть, например, М_z_,_max=49 кНм, Q_y_,мах= 15 кН.

Допускаемы значения напряжений в растянутой и сжатой зонах:

Момент сопротивления для прямоугольника при заданном соотношении размеров сторон h = 2b равен:

Из условия безопасной прочности в растянутой зоне

следует, что момент сопротивления, обеспечивающий безопасную прочность,

будет

и необходимые размеры прямоугольника определяем так:

Для сжатой зоны условие безопасной прочности имеет вид:

откуда следует:

, h=12,5 см.

Поскольку сечение с такими размерами не обеспечит прочность в растянутой зоне, окончательно принимаем: h=18 см; b=9 см.

Построим эпюры σ и τ. Вычислим наибольшие напряжения:

Рис. V.15

Это на 0,8% превышает

.Принято считать, что если пере-грузка не превышает 5% от допустимого напряжения, то безопасная прочность обеспечена.

где (рис.V.15, а); а Q_max - взято из эпю-ры (принято 15 кН).

Эпюры σ и τ даны на рис. V.15, б, в.

В пункте 4 контрольного задания и №1 требуется проверить прочность балки составного сечения, изображенного на схеме рис. V.6. полагая .

В условие безопасной прочности входит осевой момент сопротивления W_z, вычислив который сможем сделать заключение о прочности.

Изобразим в масштабе выбранное по рис. V.6 и таблице V.2 сечение, к примеру, в соответствии с рис. V.16, воспользовавшись таблицами сортамента, прокатной стали, которые приведены в приложениях I, II, III.

Швеллер №30 ГОСТ 8240-89	h=30 см, b=10 см, S=0.65 см, t=1.1см, А₁=40.5 см², =327см, у_o=2.52см.
Двутавр №30 ГОСТ 8239-89	h=30 см, b=13.5 см, S=0.65 см, t=1.02 см, А₂=46.5 см², =7080 см⁴,

Осевой момент сопротивления необходимо вычислить относительно гла-вной центральной оси инерции z_o. Поэтому на первом этапе следует определить положение центра тяжести поперечного сечения, состоящего в данном случае из швеллера №30 (элемент 1) и двух двутавров (элементы 2 и 3 на рис. V.16).

Выберем произвольную систему координат yz таким образом, чтобы все элементы сечения располагались в первом квадранте. Обозначим центры тяжести каждого элемента (О₁, О₂, О₃) и определим их координаты в осях y, z:

для швеллера: у₁=30+(10-2.52)=37.48 см;

для двутавров у₂= у₃=15 см; ;

Координата центра тяжести по оси z в силу симметрии сечения равна 15 см, а координату у_о определим по известной формуле:

Рис. V.16

Итак, оси y_o, z_o являются главными центральными осями инерции. Ис-пользуя формулу:

определим величину главного центрального момента инерции всего сечения. Координаты центров тяжести элементов в системе центральных осей y_o, z_o:

Таким образом:

момент сопротивления равен

где расстояние наиболее удаленной точки сечения от оси z_o.

Максимальный изгибающий момент для консольной балки (рис. V.9, в) равен

Условие безопасной прочности:

Безопасная прочность обеспечена.

В пункте 5 контрольного задания №1 требуется подобрать размеры спло-шного круглого вала на каждом из участков, полагая, что левый участок кольцевого сечения, к примеру а .