Пример 14. Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе - одинокая степень икса, то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1

Пример 14

Здесь тоже рулит эта же технология. Только добавлять/вычитать надо единичку, чтобы из числителя выделить выражение, стоящее в знаменателе:

Вообще говоря, рациональные дроби (с многочленами в числителе и знаменателе) – отдельная очень обширная тема. Дело всё в том, что рациональные дроби - один из очень немногих классов функций, для которых универсальный способ интегрирования существует. Метод разложения на простейшие дроби вкупе с методом неопределённых коэффициентов. Но способ этот очень трудоёмкий и обычно применяется как тяжёлая артиллерия. Ему будет посвящён не один урок. А пока что тренируемся и набиваем руку на простых функциях.

Подытожим сегодняшний урок.

Сегодня мы подробно рассмотрели, как именно пользоваться таблицей, со всеми нюансами, разобрали множество примеров (и не самых тривиальных) и познакомились с простейшими приёмами сведения интегралов к табличным. И так мы теперь будем поступать всегда. Какая бы страшная функция ни стояла под интегралом, с помощью самых разнообразных преобразований мы будем добиваться того, чтобы, рано или поздно, наш интеграл, так или иначе, свёлся к набору табличных.

Несколько практических советов.

1) Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе - одинокая степень икса, то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1-2.

2) В тригонометрических конструкциях в первую очередь пробуем базовые формулы тригонометрии – двойного/тройного угла, основные тригонометрические тождества:

Может очень крупно повезти. А может и нет…

3) Где нужно (особенно в многочленах и дробях), применяем формулы сокращённого умножения:

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

(a-b)(a+b) = a²-b²

и так далее…

4) При интегрировании дробей с многочленами пробуем искусственно выделить в числителе выражение(я), стоящее(щие) в знаменателе. Очень часто дробь упрощается и интеграл сводится к комбинации табличных.

⇐ Предыдущая 1 2 34