Пример 12. Пример 13

Пример 12

Опять же, стандартной формулы для интеграла от дроби не существует. Однако в знаменателе подынтегральной дроби стоит одинокий икс. Это в корне меняет ситуацию.) Поделим почленно числитель на знаменатель, сведя нашу жуткую дробь к

б езобидной сумме табличных степенных функций:

Особо комментировать процедуру интегрирования степеней не буду: не маленькие уже.)

Интегрируем сумму степенных функций. По табличке.)

Вот и все дела.) Кстати, если бы в знаменателе сидел не икс, а, скажем, х+1, вот так:

то этот фокус с почленным делением уже так просто не прошёл бы. Именно из-за наличия корня в числителе и единицы в знаменателе. Пришлось бы замену вводить и избавляться от корня. Но такие интегралы гораздо сложнее. О них – в других уроках.

Видите! Стоит только чуть-чуть видоизменить функцию – тут же меняется и подход к её интегрированию. Порой кардинально!) Нету чёткой стандартной схемы. К каждой функции – свой подход. Иногда даже уникальный.)

В некоторых случаях преобразования в дробях ещё более хитрые.

Пример 13

А здесь как можно свести интеграл к набору табличных? Здесь можно ловко извернуться добавлением и вычитанием выражения x² в числителе дроби с последующим почленным делением. Очень искусный приём в интегралах! Смотрите мастер-класс! :)

И теперь, если заменить исходную дробь на разность двух дробей, то наш интеграл распадается на два табличных – уже знакомую нам степенную функцию и арктангенс (формула 8):

Ну, что тут можно сказать? Вау!

Этот трюк с добавлением/вычитанием слагаемых в числителе – очень популярен в интегрировании рациональных дробей. Очень! Рекомендую взять на заметку.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒