Пример 10. Пример 11

Пример 10

Что, внушает? Таблица интегралов пока бессильна, да. Но, если снова заглянуть в нашу сокровищницу тригонометрических формул, то можно откопать весьма и весьма полезную формулу косинуса двойного угла:

Вот и применяем эту формулу к нашей подынтегральной функции. В роли "альфа" у нас х/2.Получаем:

Эффект потрясающий, правда?

Эти два примера наглядно показывают, что предварительное преобразование функции перед интегрированием вполне допускается и порой колоссально облегчает жизнь! И в интегрировании эта процедура (преобразование подынтегральной функции) на порядок более оправдана, чем при дифференцировании. В дальнейшем всё увидите.)

Разберём ещё парочку типовых преобразований.

Формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных и метод почленного деления.

Обычные банальные школьные преобразования. Но порой только они и спасают, да.)

Пример 11

Если бы мы считали производную, то никаких проблем: формула производной произведения и – вперёд. Но стандартной формулы для интеграла от произведения не существует. И единственный выход здесь – раскрыть все скобки, чтобы под интегралом получился многочлен. А уж многочлен мы как-нибудь проинтегрируем.) Но скобки раскрывать тоже будем с умом: формулы сокращённого умножения – штука мощная!

(x² — 1)²(x² + 1)² = ((x² — 1)(x² + 1))² = ((x²)² — 1²)² = (x⁴ — 1)² = x⁸ — 2x⁴ + 1

А теперь считаем:

И все дела.)

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒