Двуполостный гиперболоид. Параболоид эллиптический

Двуполостный гиперболоид

Это поверхность, полученная из двуполостного гиперболоида вращения сжатием пространства к плоскости, проходящей через ось вращения, а именно к плоскости (уOz) с коэффициентом .

→

Получим каноническое уравнение двуполостного гиперболоида c осью Оу (3).

Свойства.

1.Поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, осей координат, начала координат.

Начало координат – это центр двуполостного гиперболоида.

2.Точки пересечения с координатными осями.

Ох: → → Ø → не пересекает ось Oz

→ → Ох, Oz – мнимые оси;

Оу: → → → и – вершины

3.Пересечения с координатными плоскостями и им параллельными.

1) Пусть двуполостный гиперболоид рассечен плоскостями, параллельными (xOz): .

→

a. Если h = 0, то – мнимый эллипс, лежащий в плоскости (xOz);

b. Если < b, то < 0

→ мнимый эллипс;

c. Если , то → → и – вершины;

d. Если > b, то > 0 →

– эллипс;

2) Пусть двуполостный гиперболоид рассечен плоскостями, параллельными (уOz)

→ →

– гипербола с осью Оу.

3) Аналогично получаются сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости (хOу).

Параболоид эллиптический

Это поверхность, полученная из параболоида вращения (p > 0) сжатием пространства к плоскости, проходящей через ось вращения.

Пусть р = b, рассмотрим сжатие пространства к плоскости (уOz) с коэффициентом , где а > 0.

→

Получим каноническое уравнение эллиптического параболоида или (4).

Свойства.

1.Если точка , то ей принадлежат точки , , → тело симметрично относительно плоскостей (yOz), (xOz) и оси Oz.

Oz – ось эллиптического параболоида.

2.Точки пересечения с координатными осями.

→ → – вершина параболоида.

3.Пересечения с координатными плоскостями и им параллельными.

1) Пусть эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной (xOy):

→

a. Если h < 0, то – мнимый эллипс;

b. Если h = 0, то → → вершина ;

c. Если h > 0, то – эллипс.

2) Пусть эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной (xOz):

→ → – парабола с осью Oz;

Если h = 0, то .

3) Аналогичные сечения получаются при пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости (yOz).

Параболоид эллиптический можно получить другим способом.

Заставим параболу бегать по параболе . Эти параболы возьмем так, чтобы они имели общую вершину в начале координат и лежали в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (хOz) и (yOz).