Эллипсоид

Рассмотрим в пространстве плоскость и некоторое действительное число .

Определение. Отображение точек пространство по закону такое, что , где М₀ – ортогональная проекция точки М на плоскость , есть преобразование пространства, называемое сжатием пространства к плоскости .

Рассмотрим k > 0, сжатие пространства к плоскости (xOy).

Пусть в репере точки имеют координаты и → , ,

→ – формулы сжатия к плоскости (xOy).

Аналогично получаются формулы сжатия к другим координатным плоскостям:

к (yOz) к (xOz)

Эллипсоид

Рассмотрим эллипсоид вращения вокруг оси Oz .

Рассмотрим поверхность, полученную из нее сжатием пространства к плоскости, проходящей через ось вращения, а именно к плоскости (уOz) с коэффициентом , где а > 0.

→

Получим каноническое уравнение трехостного эллипсоида или (1).

Свойства.

1.Из (1) → → .

Т. е. все точки эллипсоида будут лежать внутри прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2а, 2в, 2с.

2.Если точка , то ей принадлежат точки , , , → тело симметрично относительно координатных плоскостей и начала координат.

Начало координат – это центр симметрии эллипсоида, называемый центром эллипсоида.

3.Точки пересечения с координатными осями.

Ох: → → → и

Оу: → → → и

Оz: → → → и

Эти точки называются вершинами эллипсоида

4.Пересечения с координатными плоскостями и им параллельными.

Пусть эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскости (xOy), т. е. , значит, уравнение плоскости π: z = h. Таким образом, рассмотрим систему уравнений:     →

a. Если h = 0, то – эллипс с полуосями а, b, лежащий в плоскости (xOy);

b. Если , то > 0        → – эллипс, лежащий в плоскости z = h;

c. Если , то → ,

т. е. имеем и – две точки;

d. Если > с, то < 0   →

– мнимый эллипс

Аналогичные сечения получаются при пересечении эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям (xOz) и (yOz).

12 3 4 Следующая ⇒