эллиптический параболоид. гиперболический параболоид

7) эллиптический параболоид

Определение 7. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

где - параметры. (5)

С помощью сечений исследуем эту поверхность:

1) и (16.3).

(В сечениях параболы: OZ – ось симметрии, O(0;0;0) – вершина)

а) при h>0 сечения – эллипсы;

б) при h=0 плоскость z=0 касается параболоида (эллипс вырождается в точку);

в)при h<0 – мнимый эллипс.

Если p=q, эллиптический параболоид можно рассматривать, как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси (параболоид вращения).

8) гиперболический параболоид

Определение 8. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

(p,q>0). (6)

Установим геометрический вид поверхности:

Рассмотрим сечения:

1) . В сечении парабола, OZ – ось симметрии, ветви направлены вверх, вершина – в начале координат.

2) . В сечении – такие же (как в (1)) параболы .

3) . В сечении парабола, OZ – ось симметрии, ветви направлены вниз, вершина – в начале координат.

4) . В сечении такие же параболы, как в (3).

5) или .

а) при h>0 в сечении гиперболы в плоскости OXZ;

б) при h<0 в сечении гиперболы в плоскости OYZ;

в) при h=0 в сечении гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.

Таким образом имеем седлообразную поверхность. (0;0;0) – вершина, p,q – параметры.