Выпуклость и вогнутость.. Теорема 4.
4. Выпуклость и вогнутость.
Пусть функция дифференцируема в любой точке интервала (a, b). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке графика.
Определение 4. Непрерывная функция называется выпуклой вниз (т.е. вогнутой) (рис.3), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной к графику на интервале (a, b). И называется выпуклой вверх (рис.4), если все точки кривой лежат ниже этих касательных.
Рис.3 Рис.4
Теорема 4.
Если функция имеет на интервале (a, b) конечную вторую производную и во всех точках х интервала (a, b), то график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз (вогнут). Если во всех точках х интервала (a, b), то график данной функции имеет выпуклость, направленную вверх.

Определение 5.Точки, при переходе через которые функция меняет направление выпуклости, называются точками перегиба функции .
Определение 6.Точка называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости.
Теорема 5. (необходимое условие существования точки перегиба).
Если функция дважды дифференцируема в точке , непрерывна в этой точке, и ее график имеет перегиб в точке , тогда .
Теорема 6. (достаточное условие существования точки перегиба).
Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и пусть , либо , либо не существует, тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки х0, то график функции имеет перегиб в точке .
Замечание.Точка разрыва не является точкой перегиба, хотя при переходе через нее кривая зачастую меняет направление выпуклости.
|