|
||||||||
Исследование функций с помощью производныхСтр 1 из 4Следующая ⇒ Исследование функций с помощью производных 1. Возрастание и убывание функций
Теорема 1. Если во всех точках х некоторого промежутка D производная функции , то функция постоянна на этом промежутке. Доказательство Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, т.е. для любых точек из промежутка D существует точка такая, что справедлива формула конечных приращений Лагранжа: . По условию теоремы , следовательно, . Отсюда . Это означает, что функция постоянна на этом промежутке, что и требовалось доказать. Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция была возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1) Аналогично условие
является необходимым и достаточным для убывания функции на интервале (a, b). Доказательство Необходимость Пусть – произвольная точка интервала (a, b). Из определения возрастающей функции имеем: Достаточность Пусть выполняется условие (1) и - произвольные точки из промежутка (a, b), причем . Тогда по теореме Лагранжа существует точка такая, что справедлива формула конечных приращений Лагранжа: . По условию теоремы и , следовательно, . Отсюда, , т.е. функция не убывает, что и требовалось доказать. Определение 1. Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности.
Рис.1 Рис.2 Геометрический смысл: если то угол α – тупой (рис.1), если то угол α – острый (рис.2).
|
||||||||
|