ЗАДАЧА №3.. h = 2000 мм; l = 4000 мм;. М = 40 кНм; q = 20 кН/м.

ЗАДАЧА №3.

Задание: Для заданной плоской рамы нагруженной в плоскости XY (рис.1) из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения в виде двух швеллеров (ориентация сечения показано там же). Рассчитать перемещение одного и угол поворота другого произвольно выбранных поперечных сечений рамы.

Исходные данные:

h = 2000 мм; l = 4000 мм;

P₁ = 20 кН; P₂ = 30 кН;

М = 40 кНм; q = 20 кН/м.

Материал стержней Сталь 6, с модулем продольной упругости (модулем Юнга) - Е=2×10⁵МПа и пределом текучести s_т = 300 МПа.

Решение:

1).Определим допускаемые напряжения для материала стержней, принимая коэффициент запаса прочности n = 1.5:

2).Определим реакции опор из условий равновесия всей рамы: из суммы моментов относительно опоры А (левой) получим –

, откуда получим

. Из уравнений: ; и .

Для проверки правильности нахождения реакций используем уравнение равновесия: : , подставляя значения , убеждаемся, что найденные реакции удовлетворяют этому условию, следовательно, они определены верно.

3). Построим эпюры нормальных – N, перерезывающих сил - Q и изгибающих моментов - M на участках рамы, используя метод сечений в следующей последовательности:

- в пределах каждого участка проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии x_i от начала координат, (которое выбирается в центре тяжести одного из граничных сечений участка рамы, ось Х как всегда совпадает с осью рассматриваемого участка стержня) затем любая часть балки отбрасывается;

- отброшенная часть заменяется внутренними силовыми факторами N, Q и M (то есть внутренними силами взаимодействия частей рамы, которые можно считать реакциями отброшенной части);

- силовые факторы N, Q и Mопределяются из условий равновесия оставшейся части, при этом искомые силовые факторы всегда следует показывать в положительных направлениях: N –так чтобы стремилась растягивать рассматриваемый участок (то есть должна быть направлена из сечения); Q - так чтобы стремилась вращать рассматриваемую часть участка рамы по часовой стрелке; M - при построении эпюры изгибающего момента в рамах правило знаков не устанавливается, эпюра моментов всегда строится на сжатых волокнах без указания знака.

Участок АС - 0£ x £ h. (рис.2а)Нормальную силу N_АС(x)найдем из условия равновесия ; , откуда очевидно, что нормальная сила на участке постоянна и равна .

Перерезывающую силу Q_АС(x)найдем из условия ; , откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке постоянна и равна .

Изгибающий момент M_АС(x)найдем из условия ; (здесь и далее при определении изгибающих моментов в сечении в качестве моментной точки удобно выбирать т. С– центр тяжести рассматриваемого сечения), откуда следует, что изгибающий момент на участке линейно изменяется - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т.А (x=0) и С (x=2 м.): , . Знак «-» означает, что сжимаются правые (внутренние) волокна, так как сначала (см. рис.2а) момент выбран сжимающим левые (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

Участок СD - h£ x £ 3h. (рис.2б)Нормальную силу N_С_D(x)найдем из условия равновесия ; , откуда очевидно, что нормальная сила на участке постоянна и равна: .

Перерезывающую силу Q_С_D(x)найдем из условия ; , откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке постоянна и равна .

Изгибающий момент M_СD(x)найдем из условия ; откуда следует, что изгибающий момент на участке линейно изменяется - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т.С (x=2 м.) и D (x=6 м.): , . Знак «-» означает, что сжимаются правые (внутренние) волокна, так как сначала (см. рис.2б) момент выбран сжимающим левые (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

Участок BE - 0£ x £ h. (рис.2в).Нормальную силу N_BE(x)найдем из условия равновесия ; .

Перерезывающую силу Q_BE(x)найдем из условия ; , откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке постоянна и равна .

Изгибающий момент M_BE(x)найдем из условия ; , откуда следует, что изгибающий момент на участке линейно изменяется - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т.B (x=0) и E (x=2 м.): , . Знак «-» означает, что сжимаются левые (внутренние) волокна, так как сначала (см. рис.2в) момент выбран сжимающим правые (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

Участок DE - 0£ x £ l. (рис.2г).Нормальную силу N_DE(x)найдем из условия равновесия ; , откуда очевидно, что нормальная сила на участке постоянна и равна: .

Перерезывающую силу Q_DE(x)найдем из условия ; , откуда очевидно, что перерезывающая сила на участке линейно изменяется - , и для построения эпюры нужно вычислить два значения т.D (x=0 м.) и E (x=4 м.): ; .

Изгибающий момент M_D_E(x)найдем из условия ; откуда следует, что эпюра изгибающего момента на участке является квадратичной параболой - , и его эпюру строим по двум значениям на границах участка в т. D (x=0 м.) и E (x=4 м.): ; . Для построения эпюры необходимо также определить положение вершины параболы и значение момента в ней, однако, учитывая дифференциальную зависимость - , замечаем, что вершина параболы находится в точке Е (так как ). Таким образом, эпюру строим по двум значениям, учитывая кроме того, известный факт – выпуклость эпюры моментов всегда направлена навстречу распределенной нагрузке. Для определения перемещений потребуется определить значение изгибающего момента посередине участка - . Отрицательные значения изгибающего момента означают, что сжимаются нижние (внутренние) волокна так как сначала (см. рис.2г) момент выбран сжимающим верхние (внешние) волокна. Эпюры представлены на рис. 3а,б,в.

4).После построения эпюр необходимо выполнить проверку их правильности методом вырезания узлов.

Суть метода вырезания узлов заключается в следующем: каждый узел мысленно вырезается из рамы поперечными сечениями бесконечно близкими к узлу; в каждом сечении прикладываются все силовые факторы значения и направления, которых берутся с эпюр; производится проверка равновесия узла под действием силовых факторов и внешних нагрузок, приложенных к узлу; если условия равновесия для узлов выполняются, то эпюры силовых факторов построены правильно.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒