Пример 4.. Решение.

Рис. 2

Пример 4.

Консольная балка прямоугольного поперечного сечения с соотношением сторон нагружена в вертикальной и в горизонтальной плоскостях сосредоточенными силами кН, кН, сосредоточенным моментом кНм и равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью кН/м (рис. 1).

Определить рациональную ориентацию поперечного сечения (ребром или плашмя), а также его размеры b и h из условия прочности при допускаемом нормальном напряжении кН/см². Построить эпюру нормальных напряжений по контуру опасного поперечного сечения.

Рис. 1

Решение.

Для прямоугольного поперечного сечения условие прочности при одновременном изгибе в двух плоскостях можно записать в виде:

где – максимальное значение нормального напряжения, возникающего в поперечном сечении балки; и – изгибающие моменты; и – осевые моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей x и y соответственно.

1. Строим эпюры изгибающих моментов и по значениям, вычисленным для характерных сечений (рис. 2).

Воспользуемся принципом суперпозиции и сначала рассмотрим изгиб балки в вертикальной плоскости.

Сечение 1:

кНм.

Сечения 2 и 3:

кНм.

Рис. 2

Сечения 4 и 5:

кНм.

Сечение 6:

На участке балки, нагруженном равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q, необходимо сделать дополнительное сечение 7. Перерезывающая сила , возникающая в этом сечении, равна

и при м она обращается в нуль.

Следовательно, в этом поперечном сечении балки изгибающий момент принимает экстремальное значение:

кНм.

Теперь рассмотрим изгиб балки в горизонтальной плоскости.

Сечение 1:

кНм.

Сечения 2 –7:

кНм.

2. Определяем необходимые размеры поперечного сечения балки при егорасположении ребром.

Осевые моменты сопротивления равны:

; .

Условие прочности принимает вид:

Отсюда, после несложных преобразований,

Отметим, что при косом изгибе расположение опасного с точки зрения прочности сечения не всегда очевидно. Поэтому нам необходимо исследовать несколько сечений, «похожих» на опасные сечения.

Сечение 1:

см.

Сечение 7:

см.

Из двух полученных выше значений размера b нам следует выбрать большее значение. Таким образом, для случая расположения балки ребром принимаем следующие размеры поперечного сечения:

см; см.

3. Теперь определим необходимые размеры поперечного сечения балки при ее расположении плашмя.

Осевые моменты сопротивления в этом случае равны:

; .

Условие прочности принимает вид:

Отсюда

Из условия прочности сечения 1 получим:

см,

а из условия прочности сечения 7 –

см.

Из двух найденных выше значений принимаем для размера b большеезначение: см. Тогда

см.

Анализируя полученные результаты, видим, что расположение поперечного сечения балки плашмяявляется более рациональным, поскольку в этом случае размер смоказываетсяменьше, чем при расположении балки ребром ( см).

4. Строим эпюру нормальных напряжений по контуру опасного сечения1. Осевые моменты сопротивления:

см; см.

Максимальные значения нормальных напряжений при изгибе в вертикальной и горизонтальной плоскостях соответственно равны:

кН/см;

кН/см.

Эпюры и от изгиба в вертикальной и горизонтальной плоскостях соответственно представлены на рис. 3.

Рис. 3

Определяем значения напряжений в угловых точках поперечного сечения с учётом их знака:

кН/см; кН/см;

кН/см; кН/см.

Эпюра нормальных напряжений по контуру поперечного сечения, расположенного плашмя, представлена на рис. 4.

Рис. 4

⇐ Предыдущая 1 2 34