Пример 2.. Решение.

Пример 2.

Балка загружена нагрузкой, показанной на рис. 1. Сила кН действует в вертикальной плоскости, кН – в горизонтальной, пара сил кНм – в плоскости, расположенной под углом к оси .

Рис. 1

Требуется:

1) из условия прочности подобрать номер двутавра;

2) найти полное перемещение точки оси балки (см. рис. 1);

3) нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем нейтральную линию и полное перемещение точки . Определить угол между нейтральной линией и полным перемещением.

Решение.

Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 2, а) и горизонтальную (рис. 2, в) составляющие и построим эпюры и (рис. 2, б, г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и , так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение , в котором действуют кНм и кНм, и сечение с изгибающими моментами – кНм и кНм.

Рис. 2

Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид . Поскольку отношение моментов сопротивления зависит от номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно равным 10. Тогда условие прочности в опасных точках сечения примет вид:

где допускаемое напряжение для стали принято = 160 МПа, величины изгибающих моментов переведены из кНм в кНсм. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления

см³.

По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра № 50 с такими характеристиками: см³ и см³ условие прочности в опасных точках сечения

кН/см²

не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра № 55, у которого см³ и см³:

кН/см².

Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения :

кН/см².

Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента , действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, что в рассмотренном примере существенно меньше , напряжения от больше чем напряжения от (или они примерно одинаковы). Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых .

Найдем перемещение точки . Будем искать по формуле сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюры и (рис. 2, б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций.

кНм³.

Аналогично определим по горизонтальную составляющую перемещения (эпюру М₁ от горизонтальной единичной силы, направленной вдоль оси y, можно не строить, т. к. она такая же, как от вертикальной единичной нагрузки), перемножая эпюры и (рис. 2, г, е).

кНм³.

Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е. вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси ), горизонтальное – по направлению оси . Сосчитаем найденные составляющие перемещения в " см", разделив их на соответствующие жесткости.

кНсм²,

см,

см.

Из сравнения величин и видно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей.

Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии в опасном сечении С имеет вид (при составлении уравнения нейтральной линии не забывайте учитывать знаки изгибающих моментов в рассматриваемом сечении. В данной задаче оба момента положительны):

или .

Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечении показаны на рис. 3. Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1¢ – это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒