Решение задачи 6. Решение задачи 7. Решение задачи 8

Решение задачи 6

В случае, когда область D является частью круга или кольца, чаще всего удобно перейти к полярной системе координат (см. лекцию 14 ЛАиАГ). Связь между декартовыми и полярными координатами осуществляется согласно формулам (63) (ЛАиАГ). В данной ситуации область D – круг радиуса p, и намерение перейти к полярным координатам вызвано значительным упрощением описания этой области системой неравенств в полярных координатах по сравнению с декартовыми: . Выразим подынтегральную функцию через полярные координаты:

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах воспользуемся формулой (50) (см. также П. 47):

Решение задачи 7

Сделаем чертёж и далее будем действовать как в примере 48.

Центр тяжести данной фигуры определим по формулам (54), которые, в силу того, что плотность постоянна, приобретают вид: , . Следует также заметить, что полученная фигура симметрична относительно оси Ох, из чего можно сделать вывод, что .

Найдём значение . Опишем область D, как область второго типа: ;

. Согласно формулам (54) .

Решение задачи 8

Одно из приложений двойного интеграла – возможность вычисления объёма тела, боковой поверхностью которого является цилиндрическая поверхность (см. лекцию 15 ЛАиАГ). Например, если образующие этого тела параллельны оси Оz, основание D лежит в плоскости хОу, а сверху тело ограничено поверхностью , то искомый объём вычисляется по формуле: .

Как следует из чертежа, полученное тело удовлетворяет всем условиям для применения записанной формулы: сверху оно ограничено плоскостью ; боковую поверхность образуют параболический цилиндр и плоскость параллельные оси Оz; основание D лежит в плоскости .

Опишем область D системой неравенств: . Тогда

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒