Задача 1. Задача 2. Задача 3. Задача 4. Задача 5. Задача 6. Задача 7. Задача 8. Задача 9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Решение задачи 1

Стр 1 из 4Следующая ⇒

ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ ПО ОПРЕДЕЛЁНЫМ, КРАТНЫМ И КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ

Задача 1

Вычислить определённые интегралы:

;

Задача 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

Задача 3

Вычислить объёмы тел вращения:

1) , , вокруг оси Ох;

2) , , вокруг оси Оу.

Задача 4

Вычислить длину дуги плоской кривой: , .

Задача 5

Вычислить с помощью двойного интеграла площади плоских фигур, ограниченных линиями:

;

Задача 6

Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , где D : .

Задача 7

Вычислить координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями: , (плотность ).

Задача 8

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: ; ; ; и расположенного в первом октанте.

Задача 9

Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга кривой и .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Решение задачи 1

1) Для вычисления интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница (22) и свойство линейности определённого интеграла (см. также П. 25):

2) Здесь необходимо использовать метод замены переменной и применить формулу (23) (см. также П. 26):

3) Для вычисления этого интеграла применим метод интегрирования по частям, то есть формулу (24) (см. также П. 27):

Решение задачи 2

1) Вычислим площадь фигуры с помощью формулы (26) (см. также П. 29), для применения которой сначала нужно построить графики заданных функций. Первая линия является параболой, а вторая – прямой. Найдём их общие точки, решив систему уравнений: