Решение задачи 3. Решение задачи 4. Решение задачи 5

Решение задачи 3

1) Для вычисления объёма тела вращения воспользуемся формулой (28) (см. также П. 30):

2) Здесь вращение линии происходит вокруг оси Оу, вследствие чего применяем формулу (29) (см. также П. 31):

Решение задачи 4

Кривая задана в декартовых координатах, поэтому будем использовать формулу (31) (см. также П. 32). Сначала находим подынтегральную функцию:

Таким образом подкоренное выражение примет вид:

Тогда

Решение задачи 5

Запишем свойство нормировки для двойного интеграла: . Применим его для вычисления площади плоской фигуры D с помощью двойного интеграла.

1) Чтобы использовать свойство нормировки, нужно построить фигуру D, описать её системой неравенств и перейти к повторному интегралу.

Для нахождения точек пересечения параболы и прямой решим систему уравнений: . Полученная фигура D является областью 1-го типа , поэтому при переходе к повторному интегралу будем использовать формулу (46):

2) Одна из линий, ограничивающих фигуру D, является гиперболой с полуосями и (см. лекцию 13 по ЛАиАГ). Другая линия – прямая, график которой расположен в полуплоскости положительных значений переменной х. Поэтому изобразим лишь одну ветвь гиперболы.

Фигура D симметрична относительно оси Ох и площадь её равна удвоенной площади фигуры

Следовательно,

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒