Пусть прямая m параллельна плоскости . Если плоскость проходит через прямую m и пересекает плоскость по прямой c, то c параллельна m.

Пусть прямая m параллельна плоскости. Если плоскость проходит через прямую m и пересекает плоскость по прямой c, то c параллельна m.

Для чего нам эта теорема? Например, для того, чтобы построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.

Разобрать задачи

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной MK.

Прямая MK параллельна AB, лежащей в плоскости основания ABC. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую MK, параллельную плоскости ABC. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости AВC параллельна прямой MK. Трапеция MKNT — искомое сечение.

Таких задач, где в сечении пирамиды получается трапеция (или параллелограмм), в вариантах Профильного ЕГЭ очень много.

2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K — середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Пусть точка M — середина AB. Тогда как средняя линия

Пусть точка N — середина PD. Поскольку KN — средняя линия и тогда

Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости KMN и ABC пересекаются по прямой МE. Покажем, что

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

Это значит, что Прямая ME содержит точку О, являющуюся проекцией вершины P на плоскость ABC. Трапеция KNEM - искомое сечение.

б) Найдём площадь сечения.

где — высота трапеции KNEM.

Пусть H — середина KN,

тогда

Есть еще одна теорема — такая же полезная, как и теорема о прямой и параллельной ей плоскости. Вот она:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒