![]()
|
|||
4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два. Решение Обозначим f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a). Без ограничения общности рассуждений можно считать, что a < b < c. Рассмотрим все возможные случаи: – если a = b = c, то можно записать f(x) = 3(x – a)2, и, очевидно, f(а) = 0: а – корень; – если a = b, то f(x) = (x – a)2+ 2 (x – а)(x – c), и f(а) = 0: а – корень; – если b = c, то f(x) = 2(x – a)(x – b) + (x – b)2, и f(b) = 0: b – корень; – если a < b < c, то f(a) = (a – b) (a – c) > 0, f(b) = (b – a) (b – c) < 0, f(c) = (c – a) (c – b) > 0. Так как f(x) – непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a; b) и (b; c), то она имеет два различных действительных корня х1 и х2. Более того a < х1 < b < х2 < c. Решение задачи окончено. 5. Дан многочлен ax2 + bx + c. За один ход разрешается заменить х на (х – k) или заменить многочлен целиком на многочлен cx2 + (b + 2c)x + (a + b + c). Можно ли после нескольких ходов из многочлена x2 – 3x – 4 получить многочлен x2 – 2x – 5? Решение Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена x2 – 3x – 4 можно получить многочлен x2 – 2x – 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так. Ответ: нет. 6. Найдите все значения a и b, такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] будет выполняться неравенство | 2x2 + ax + b| < 1. Решение Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] выполняется данное неравенство, т. е, –1 < 2x2 + ax + b < 1. Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = – 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств: –1 < b < 1, –3 < a + b < –1, –3 < b – а < – 1. Сложив почленно два последних неравенства, подучим –3 < b < – 1. Отсюда и из первого неравенства следует, что b = –1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам: –2 < a < 0, 0 < a < –2, и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b, удовлетворяющие условию задачи, то а = 0, b = – 1 и других решений задача не имеет. Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = – 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [–1; 1] верно двойное неравенство –1 < 2x2 – 1 < 1. А оно равносильно неравенству 0 < 2x2 < 2, которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [–1; 1]. Ответ: а = 0, b = – 1.
|
|||
|