4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

4. Пусть a, b, c – действительные числа. Доказать, что уравнение

(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0

всегда имеет хотя бы один действительный корень. Выяснить, когда таких корня два.

Решение

Обозначим

f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Без ограничения общности рассуждений можно считать, что a < b < c. Рассмотрим все возможные случаи:

– если a = b = c, то можно записать f(x) = 3(x – a)², и, очевидно, f(а) = 0: а – корень;

– если a = b, то f(x) = (x – a)²+ 2 (x – а)(x – c), и f(а) = 0: а – корень;

– если b = c, то f(x) = 2(x – a)(x – b) + (x – b)², и f(b) = 0: b – корень;

– если a < b < c, то

f(a) = (a – b) (a – c) > 0,

f(b) = (b – a) (b – c) < 0,

f(c) = (c – a) (c – b) > 0.

Так как f(x) – непрерывная квадратичная функция, принимающая значения разного знака на концах интервалов (a; b) и (b; c), то она имеет два различных действительных корня х₁ и х₂. Более того

a < х₁ < b < х₂ < c.

Решение задачи окончено.

5. Дан многочлен ax2 + bx + c. За один ход разрешается заменить х на (х – k) или заменить многочлен целиком на многочлен

cx2 + (b + 2c)x + (a + b + c).

Можно ли после нескольких ходов из многочлена x2 – 3x – 4 получить многочлен x2 – 2x – 5?

Решение

Нетрудно убедиться, что при указанных заменах исходного многочлена его дискриминант не изменяется. Значит, если из многочлена x²– 3x – 4 можно получить многочлен x²– 2x – 5, то их дискриминанты должны быть равны. Однако это не так.

Ответ: нет.

6. Найдите все значения a и b, такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] будет выполняться неравенство

| 2x2 + ax + b| < 1.

Решение

Пусть числа а и b такие, что для любого х из отрезка [–1; 1] выполняется данное неравенство, т. е,

–1 < 2x² + ax + b < 1.

Полагая здесь последовательно х = 0, х = 1, х = – 1, получаем, что а и b удовлетворяют следующей системе неравенств:

–1 < b < 1,

–3 < a + b < –1,

–3 < b – а < – 1.

Сложив почленно два последних неравенства, подучим

–3 < b < – 1.

Отсюда и из первого неравенства следует, что b = –1. Тогда а удовлетворяет следующим двум неравенствам:

–2 < a < 0,

0 < a < –2,

и поэтому, а = 0. Таким образом, если существуют числа а и b, удовлетворяющие условию задачи, то

а = 0, b = – 1

и других решений задача не имеет.

Чтобы доказать, что найденные значения а = 0, b = – 1 являются решением задачи, остается проверить, что для любого х из отрезка [–1; 1] верно двойное неравенство

–1 < 2x² – 1 < 1.

А оно равносильно неравенству

0 < 2x²< 2,

которое, очевидно, справедливо на числовом промежутке [–1; 1].

Ответ: а = 0, b = – 1.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒