Задачи с решениями. 1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с.. 2. Может ли квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Стр 1 из 3Следующая ⇒

В большинстве задач, сводящихся к исследованию квадратичной функции

у = f(х) = ax²+ bx + c,

полезно представить себе её график:

если он пересекает ось Ох в двух точках (корнях) х₁ и х₂, то между корнями значения функции у = f(х) противоположны по знаку числу а, а вне отрезка [х₁; х₂] – совпадают по знаку с числом а;
при этом вершина параболы у = f(х) (абсцисса которой равна полусумме корней) соответствует точке экстремума функции у = f(х): минимума, если а > 0, и максимума, если а < 0.

В ряде задач полезно использовать такой факт:

если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) принимает в концах этого отрезка значения разных знаков, то между точками a и b лежит хотя бы один корень уравнения f(х) = 0.

Задачи с решениями

1. Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Определить знак коэффициента с.

Решение

Квадратный трёхчлен f(x) = ax²+ bx + c не имеет действительных корней, значит, он сохраняет один и тот же знак для всех значений аргумента х. Так как f(1) = a + b + c < 0, то f(0) = c < 0.

Ответ: c < 0.

2. Может ли квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант равный 23?

Решение

Допустим, что дискриминант указанного уравнения равен числу 23. Тогда можно записать:

b² – 4ac = 23, и

b² – 25 = 4ac – 2

или (b – 5) ·(b + 5) = 2(2ас – 1).

Заметим, что b – 5 и b + 5 – числа одинаковой чётности, поэтому их произведение, если оно чётно, делится на 4. Правая часть последнего равенства есть чётное число, не делящееся на 4. Полученно противоречие, значит, сделаное допущение ложно.

Ответ: нет.

3. Найти все пары действительных чисел p, q, для которых многочлен x4 + px2 + q, имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Решение

Многочлен x⁴+ px²+ q, имеет 4 действительных корня в том и только в том случае, если многочлен у²+ pу + q (относительно у = x²) имеет два неотрицательных корня, т. е. числа р и q удовлетворяют условиям

p²> 4q, q > 0, p < 0.

Если исходный многочлен имеет 4 действительных корня (а именно: –х₁, –х₂, х₁, х₂, где без ограничения общности считаем, что х₁ > х₂ > 0), то они образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда совместна система

–2х₂ = – х₁ + х₂, x₁² + x₂² = –p, x₁² · x₂² = q

(смотрите теорему Виета и обратную к ней), т. е. когда q = 0, 09 · р². Таким образом, все искомые пары чисел р, q описываются условиями

p < 0, q = 0, 09 · р²

(неравенства p²> 4q и q > 0, вытекают из последнего равенства).

12 3 Следующая ⇒