Полиномы Лежандра.. Полиномы Лагерра.

Полиномы Лежандра.

Французский математик Адриен Мари Лежандр, помимо того, что он был фанатом Якоби и придумал свои полиномы как частный случай полиномов Якоби, был лучшим другом как всех студентов, так и всех жителей антиутопии системы классических ортогональных полиномов. Всех очень бесило наличие веса-жандарма ρ (х), и Лежандр сделал то, чего хотели все и очень давно: положил его равным тождественным единице.

Как же похорошели классические ортогональные полиномы при Лежандре, стоило только убрать вес!

(от -1 до 1 – напомним, что Лежандр фанат Якоби и рассматривал свои полиномы только как частный случай его)

Ну в чистом виде скалярное произведение, без всяких дурацких весов!

Глядя на «якобинскую» формулу

Мы легко скажем, что для этого Лежандр положил

Формула Родрига даёт

Полиномы Лагерра.

В качестве веса Лагерр выбрал

Обсудим его выбор. У нас интеграл несобственный, от 0 до , следовало бы позаботиться о том, чтобы интеграл

сходился даже для полиномов самых больших степеней. Нужна какая-то быстро затухающая на правом конце функция, затухающая быстрее, чем полином любой степени. На ум как раз сразу приходит е^-х. Ну и домножение на произвольную степенную функцию её быстрого убывания не губит.

Надо ещё проверить, что данный вес удовлетворяет уравнению Пирссона, т. е. (для многочленов Лагерра это )- линейная функция.

Проверяем и уберждаемся:

Обозначаются многочлены Лагерра

Формула для них:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒