Заключение 1 страница

1. Атомы могут находиться длительное время в устойчивых (стационарных) состояниях, в которых не излучается энергия; в каждом из стационарных состояний атом может обладать только вполне определенной энергией.

2. Излучение или поглощение энергии атомами происходит в момент скачкообразного перехода атома из одного стационарного состояния в другое (при этом электрон скачком переходит с одной стационарной орбиты на другую). Атомы излучают и поглощают энергию дискретными порциями - квантами, энергия которых e = hv равна раз­ности энергий тех стационарных состояний, между кото­рыми происходит данный переход:

                               ,

а частота излучения:                          

,

5. 3

где  W_n, W_k - энергия стационарных состояний. Если W_n > W_k, излучается квант энергии (фотон), если W_n < W_k, квант энергии поглощается.

3. Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются в действительности лишь те, для которых момент импульса электрона на орбите  кратен :

.

5. 4

Здесь n - целое положительное число, r - радиус n-й разрешенной орбиты. Эти орбиты нумерованы числами 1, 2, 3, ... в зависимости от значения п, которое называется квантовым числом.

Соотношение (5. 2) называют правилом квантования Бора. Оно не имело под собой прочной теретической основы. Единственным аргументом для выбора соотношения (5. 2) в качестве условия квантования было то, что это соотношение поз­воляло достичь согласия с наблюдаемыми спектрами.

Бор исходил из того, что атомы испускают линейчатые спектры, поэтому и энергетические состояния должны образовывать дискретный спектр. Дискретность значений энергий была доказана в опытах Франка и Герца в 1913 г.

5. 1. 4 Теория водородоподобных атомов по Бору

К водородоподобным атомам относят кроме водорода однократно ионизованный атом гелия, двукратно ионизованный атом лития и т. д. Водородоподобный атом имеет, таким образом, всего один электрон.

Модель атома Резерфорда-Бора позволила объяснить происхождение линейчатых спектров излучения и поглощения водородоподобных атомов, исследованных еще в начале ХIX в.

Обычно атомы находятся в невозбужденном состоянии с минимально возможным значением энергии. Это состояние называется основным. Состояния с более высокими энергиями называются возбужденными. Энергия фотона, поглощаемого атомом при переходе из основного состояния с энергией W₁ в возбужденное состояние с энергией W_n, где n = 2, 3, 4..., равна энергии фотона, излучаемого атомом при обратном переходе.

Частота излучения при этом:

,

однако переход в основное состояние возможен и через несколько промежуточных состояний при испускании нескольких фотонов с меньшей энергией и частотой:

,

где n> k> 1.

При этом возбужденные атомы химического элемента испускают совокупность дискретных частот - линейчатый спектр, характерный только для данного элемента.

Рис. 5. 2 Движение электрона по круговой орбите в модели Бора

Согласно представлениям Бора, движение электронов вокруг ядра подчиняется законам классической механики (Рис. 5. 2). Связь между радиусом орбиты r и скоростью электрона может быть найдена, если учесть, что центростремительное ускорение при движении по круговой орбите , а по второму закону Ньютона . Центростремительное ускорение сообщается электрону, в соответствии с законом Кулона, силой притяжения между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженным ядром (см. «Электричество и магнетизм»): . Здесь учтено, что заряд электрона равен - е, заряд ядра + Ze, где Z - число положительно заряженных протонов в ядре (порядковый номер атома в таблице Менделеева)1.

Тогда второй закон Ньютона запишется в виде:

,

или:

.

5. 5

Правило квантования:       .

Разделив первое уравнение на второе, получим:

.

5. 6

Выразив из (5. 4) , подставим сюда скорость из (6. 6). Получим:

.

5. 7

Это соотношение определяет радиусы разрешенных орбит в боровской модели атома водорода. Ближайшей к ядру орбите соответствует п = 1, и для атома водорода (Z = 1) радиус первой орбиты получается равным 0, 529× 10^-10 м.

На каждой из допустимых орбит электрон обладает вполне определенной энергией. Потенциальная энергия определяется как энергия взаимодействия двух точечных зарядов – отрицательно заряженного электрона и положительно заряженного ядра:

.

Кинетическая энергия электрона:

                              .

При выводе этого выражения использована формула (5. 5). Полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий:     

.

5. 8

Полная энергия электрона в атоме отрицательна, это означает, что электрон находится в потенциальной яме. Чтобы оторвать электрон от атома, ему нужно сообщить положительную энергию, равную W_n. Эта энергия называется энергией ионизации. Для водорода (Z = 1) низший энергетический уровень соответствует п = 1. При подстановке в формулу (6. 8) численных значений находим энергию на этом уровне: W₁ = -2, 17× 10^-18 Дж = -13, 6 эВ (джоули мы перевели в электрон-вольты, как это принято в атомной физике: 1 эВ = 1, 6× 10^-19 Дж).

Вычисление значений энергии электрона на стационарных орбитах и определение возможных частот излучения по формуле (5. 1) дает поразительно точное совпадение с экспериментом, так же хорошо совпадает с экспериментом значение энергии ионизации атома водорода (13, 6 эВ).

Объяснение правилу квантования Бора впоследствии дал де Бройль, основываясь на волновой природе электронов.

Рис. 5. 3 На третьей боровской орбите укладывается три длины волны де Бройля

Каждому электрону в атоме соответствует стоячая волна де Бройля. Стоячие механические волны могут возникать на струнах скрипки или гитары. Если ущипнуть струну, то в ней возбудится большое число волн самой различной длины. Но лишь сравнительно немногие из них не будут затухать - это волны с минимумами колебаний на закрепленных концах. При этом на длине струны должно укладываться целое число половин длин волн. Движению электронов по круговой орбите соответствует механическая волна в кольцевой струне. Стоячая волна в такой струне возникает, когда на ее длине укладывается целое число длин волн. Таким образом, электронам соответствуют круговые стоячие волны де Бройля, которые «замыкаются» на себя (рис. 6. 3). Длина круговой боровской орбиты радиусом r_n равна 2pr_n, поэтому , откуда

.

Последнее соотношение представляет собой не что иное, как правило квантования (5. 1), введенное Бором.

5. 1. 5 Закономерности в спектрах водородоподобных атомов

Излучение возбужденных газов наблюдалось еще в начале XIX в., и было обнаружено, что спектр излучения разре­женных газов является не непрерывным, а дискретным (линейчатым). Каждое вещество обладает своим, ха­рактерным только для него спектром испускания, позволяю­щим идентифицировать газ. Если излучение с непрерывным спектром (например солнечный свет) проходит через газ, то в спектре появятся темные линии, соответствую­щие светлым линиям в линейчатом спектре испускания данного газа. Такой спектр (с темными линиями) назы­вается спектром поглощения. Было установлено, что газы поглощают свет на тех же частотах, на которых они излучают.

Самый простой спектр имеет водород. В 1885 г. Дж. Бальмер показал, что четыре видимые линии в спектре водорода, соответствующие длинам волн 656, 486, 434 и 410 нм, можно определить по формуле:

, n =3, 4, …,

5. 9

где R = 1, 097× 10⁷ м^-1 - постоянная Ридберга , а число п для первых четырех линий принимает значение 3, 4, 5 и 6.

Выполненные несколько позднее исследования спектра водорода показали, что в ультрафиолетовой и инфракрасной областях имеются другие серии линий, аналогичные по своей структуре серии Бальмера, но с другими длинами волн. Оказалось, что каждая из этих серий может быть описана формулой, напоминающей формулу (6. 9). Например, так назы­ваемая серия Лаймана содержит линии с длинами волн от 91 до 122 нм, которые описываются формулой ,  n =2, 3, …,

В серии Пашена длины волн соответствуют формуле

,  n =4, 5, …,

Различные разрешенные значения энергии обычно изображаются на схеме энергетических уровней в виде горизонтальных линий. Для водорода такая схема уров­ней показана на Рис. 5. 4.

Рис. 5. 4 Спектральные серии в спектре
атома водорода

Квантовое число п в соответствии с формулой (5. 6) определяет значения уровней энергии. Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода может находиться на любом из разрешенных уровней. Но он никогда не может оказаться между этими уровнями, например при энергии –9, 0 эВ. При комнатной температуре почти все атомы водорода находятся в основном состоянии. При более высоких температурах или в электрическом разряде за счет столкновений между свободными электронами и атомами многие электроны получают дополнительную энергию и переходят в возбужденные состояния. Через некоторое время электроны из возбужденного состояния переходят в состояния с меньшей энергией, испуская при этом фотоны. Этими переходами в рамках боровской модели и объясняются спектры испускания возбужденных газов.

 Вертикальными стрелками на рис. 5. 4 указаны переходы, соответствующие различным наблюдаемым спектральным линиям. Например, переход электрона с уровня n = 3 на уровень n = 2 соответствует линии серии Бальмера с длиной волны l=656 нм, а переход с уровня n = 4 на уровень n = 2 – линии с l=486 нм.

Закономерности в спектрах водородоподобных атомов легко объясняются теорией Бора. Действительно, из (5. 1) следует: . Подставив сюда значения энергии из (5. 8), получим:

.

5. 10

При выводе этой формулы сделана замена . Формула (5. 10) совпадает с формулами для длин волн спектральных линий (5. 9) и др., при значении квантовых чисел k =1, 2, 3, n> k и постоянной Ридберга, равной  Расчет постоянной Ридберга по этой формуле дает значение, весьма близкое к полученному экспериментально.  

Таким образом, теория Бора смогла объяснить, почему атомы испускают линейчатые спектры, и точно пред­сказать для атома водорода длины волн испускаемого излучения. Теория Бора позволила объяснить и спектры поглощения: столкновение фотона с атомом приводит к переходу электрона с одного энергетического уровня на другой, более высокий. Закон сохранения энергии требует, чтобы налетающий фотон обладал энергией, равной разности энергий уровней. Этим объясняется, почему непрерывный спектр, проходя через газ, давал темные линии (поглощения) на тех же самых частотах, что и линии испускания.

Теория Бора постулировала также стабильность атомов; основное состояние является низшим состоянием электрона и не существует более низкого энергетического уровня, на который электрон мог бы перейти из основного состояния с испусканием излучения. Наконец, теория Бора, как было показано выше, точно предсказывает энергию ионизации водорода 13, 6 эВ.

К сожалению, теория Бора оказалась полностью несостоятельной уже для атомов, содержащих два электрона, не говоря о более сложных атомах. Она не смогла объяснить, почему линии испускания при более детальном изучении оказались состоящими из двух или большего числа очень близких линий (так называемая тонкая структура). Теория Бора не смогла также объяснить, почему одни спектральные линии ярче других. Не получили объяснения и межатомные связи в молекулах, твердых телах и жидкостях. Теория Бора является внутренне противоречивой – не является ни последовательно классической, ни последовательно квантовой, тем не менее, она сыграла важную роль в создании более совершенной квантовой теории атома, которой и уступила место.

5. 1. 6 Основные положения квантовой механики. Уравнение Шредингера

В начале 20-х годов XX в. многие физики стали все более отчетливо сознавать необходимость новой, более последовательной теории. И она не заставила себя ждать. Менее чем через два года после того, как де Бройль выдвинул гипотезу о волновых свойствах микрочастиц, Э. Шредингер и В. Гейзенберг независимо разработали новую, более общую теорию. Избранные ими подходы были различными, но, как выяснилось вскоре, ока­зались полностью совместимыми.

Новая теория, описывающая явления в мире микрочастиц, получила название квантовой механики. Она блестяще решила проблему спектров сложных ато­мов; она объяснила относительную яркость спектральных линий и образование молекул из атомов; она представ­ляет собой несравненно более общую теорию, которая охватила всю совокупность квантовых явлений от из­лучения черного тела до структуры атомов и молекул. Квантовая механика объяснила широкий круг явлений природы, ее предсказания позволили создать много новых устройств, нашедших практическое применение. Квантовая механика занимается в основном изучением микромира атомов и света; но в применении к макротелам новая теория должна приводить к классическим за­конам механики Ньютона. Это означает, что квантовая механика должна полностью удовлетворять принципу соответствия (см. разд. 4. 4).

В основе квантовой механики лежит представление о волновых свойствах микрочастиц и соотношение неопределенностей Гейзенберга. Как указывалось в разделе Лекция 5. 1, каждой частице соответствует волновая функция, причем квадрат модуля волновой функции позволяет определить вероятность обнаружения микрочастицы в заданном объеме

Уравнение, решением которого является волновая функция Y для микрочастиц, движущихся во внешнем поле и обладающих потенциальной энергией, было получено Шредингером в 1926 г. Для случая, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, уравнение одномерного движения имеет вид:

.

5. 11

где m – масса частицы, E_к и U – ее кинетическая и потенциальная энергия, соответственно. Уравнение (5. 11) называется стационарным уравнением Шредингера и справедливо для частиц, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света.

Применим уравнение Шредингера для свободно движущейся частицы, т. е. частицы, не взаимодействующей с другими телами. Импульс р свободно движущейся частицы может быть выражен следующим образом:

,

5. 12

где  - волновое число. Потенциальная энергия свободно движущейся частицы равна нулю. Уравнение Шредингера для случая U=0 принимает вид:

.

5. 13

Множитель перед волновой функцией равен квадрату волнового числа:

.

5. 14

Действительно, подставив в это выражение кинетическую энергию, выраженную через импульс , получим: , что согласуется с (5. 12). С учетом этого уравнение Шредингера приводится к виду:                           

.

5. 15

Это уравнение подобно уравнению гармонического осциллятора (см. раздел «Механика»), и его решением является гармоническая функция

.

5. 16

Амплитуда такой волны осциллирует на всей оси x1. Следовательно, определить область локализации частицы невозможно, т. е. неопределенность ее координаты . Это утверждение согласуется с принципом неопределенности Гейзенберга. Если импульс частицы задан точно (как в нашем случае), то его неопределенность Dр = 0. Из (5. 2) следует, что в таком случае .

Применим сейчас уравнение Шредингера для частицы (например для электрона), находящейся в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Это означает, что в пределах ямы 0< x< a (Рис. 5. 5) потенциальная энергия частицы U равна нулю, а за ее пределами – бесконечности. Для координат 0< x< a справедливо, следовательно, уравнение Шредингера в виде (5. 13). Представим его решение в виде . Для нахождения констант А и В воспользуемся граничными условиями. Частица, обладающая конечной кинетической энергией, не может покинуть бесконечно глубокую потенциальную яму, следовательно, на границах ямы ее волновая функция обращается в ноль: Y=0 при х=0 и Y=0 при х=а.

Рис. 5. 5 График зависимости потенциальной энергии от координаты х в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Используя первое граничное условие, имеем: , откуда следует: В=0. Используя второе граничное условие, получим: