|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приклади для самостійної роботиМожна показати, що у випадку невід’ємної матриці A (aij ³ 0) існує деяке невід’ємне власне число l, яке позначимо через l(А) і відповідний йому невід’ємний власний вектор. На основі поняття власного числа можна сформулювати умову продуктивності моделі Леонтьєва (6). Т еорема 1. Модель Леонтьєва продуктивна тоді і тільки тоді, коли l(А)< 1. На практиці замість сформульованої теореми користуються більш простою достатньою умовою продуктивності моделі Леонтьєва: Т еорема 2 ( достатня умова ). Матриця A продуктивна, якщо максимум суми елементів її стовпців не перевищує одиниці, причому хоча би для одного із стовпців сума елементів строго менша за одиницю, тобто матриця A продуктивна, якщо aij ³ 0 для будь-яких (i, j=1, 2, …, n) і , і існує номер j такий, що . Приклад 2. В табл. 3 наведені дані про виконання балансу за звітній період в ум. гр. од. Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцеве споживання продукції енергетичної галузі (електроенергії) збільшиться удвічі, а машинобудування збережеться на попередньому рівні. Таблиця 3
Розв’язання. Маємо: За формулами (3) знаходимо коефіцієнти прямих витрат:
Таким чином матриця прямих витрат має вигляд . Перевіримо виконання умов продуктивності для матриці А: 1) елементи матриці невід’ємні; 2) max{0. 07+0. 12; 0. 14+0. 10 }=max{0. 19; 0. 24}=0. 24< 1. Таким чином, на основі достатньої умови (теорема 2), робимо висновок, що матриця А продуктивна. Примітка: Перевірку виконання умови продуктивності можна здійснити і за допомогою сформульованої вище теореми 1: Оскільки найбільше додатне власне число =0, то матриця А продуктивна. З продуктивності матриці випливає, що для будь-якого вектора кінцевої продукції U можна знайти необхідний обсяг валового випуску C за формулою (7). Знайдемо матрицю повних витрат , де . Оскільки , то обернена матриця існує . Згідно умови задачі вектор кінцевої продукції . Тоді за формулою (7) одержуємо вектор валового випуску: , тобто валовий випуск в енергетичній області потрібно збільшити до 179, 01 ум. од., а в машинобудівній – до 160, 53 ум. од. Приклад 3. Підприємство складається з трьох цехів, кожен з яких виробляє один вид продукції. Прямі витрати одиниць продукції і-го цеху, що використовується (проміжний продукт) для випуску одиниці продукції j-го цеху, а також кількість одиниць продукції і-го цеху, призначених до реалізації (кінцева продукція), наведені в табл. 4. Таблиця 4
Визначити: 1) коефіцієнти повних витрат; 2) план (валовий випуск) кожного цеху; 3) виробничу програму цехів; 4) коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат. Розв’язання. Позначимо через: § А – матрицю витратних коефіцієнтів, де § Х – виробничу програму підприємства, де , ( ) – плани валового випуску цехів); § Y – валовий випуск товарної продукції, де . Виробничі взаємні зв’язки задовольняють співвідношення типу (5): або . (8) Ввівши позначимо Е-А=В, де Е – одинична матриця, систему лінійних алгебраїчних рівнянь (8) запишемо у вигляді , (9) де . 1) Коефіцієнти повних витрат – це елементи матриці . Тому для задоволення першої вимоги поставленої задачі потрібно знайти матрицю . Матриця В квадратна 3-го порядку, визначник якої . Тому існує і систему (8) можна розв’язати матричним методом. Для знаходження матриці знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці В: Таким чином, оберненою до В матрицею буде . 2) Знайдемо розв’язок системи (9) матричним методом: Отже, плани валового випуску продукції: для першого цеху , для другого – , для третього – . 3) Визначимо виробничу програму кожного цеху, використовуючи витратні коефіцієнти (елементи матриці А) та співвідношення , : 4) Коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат (елементи матриці С) визначаються як різниця повних внутрішньовиробничих витрат (елементи матриці ) та прямих витрат (елементи матриці А). У матричному вигляді матриця коефіцієнтів непрямих витрат буде: . Приклади для самостійної роботи 1. У таблиці наведені дані про виконання балансу за звітний період в умовних гр. од. Таблиця 5
Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцевий продукт першої галузі повинен збільшитися вдвічі, а другої на 20%. 2. У таблиці наведені дані про виконання балансу за звітний період в умовних гр. од. Таблиця 6
Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної фірми, якщо: а) кінцевий продукт фірми “Альфа” дорівнює 70, а фірми “Омега” – 120; б) кінцевий продукт фірми “Альфа” дорівнює 60, а фірми “Омега” – 80; 3. Зв’язок “витрати-випуск” між сільським господарством і промисловістю задано технологічної матрицею (у вартісній формі) у вигляді табл. 7 Таблиця 7
Попит (споживання) задається вектором . Необхідно знайти валовий випуск x=(x1, x2)T. 4. Технологічну матрицю моделі “витрати-випуск” задано у вигляді табл. 8 (в екю). Таблиця 8
Потрібно: а) прокоментувати кожне число у другому стовпці цієї таблиці; б) скільки необхідно матеріальних затрат (в екю) для виробництва 1 екю нафти? в) скласти матрицю Е-А; г) для кінцевого попиту нафти – 40, металу – 60, кам’яного вугілля – 50 скласти систему рівнянь для визначення повного (валового) випуску кожного із цих продуктів. 5. Користуючись теоремою 1 або теоремою 2, перевірити продуктивність наступних матриць: а) ; б) ; в) .
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|