Приклади для самостійної роботи

Можна показати, що у випадку невід’ємної матриці A (aij ³ 0) існує деяке невід’ємне власне число l, яке позначимо через l(А) і відповідний йому невід’ємний власний вектор.

На основі поняття власного числа можна сформулювати умову продуктивності моделі Леонтьєва (6).

Т еорема 1. Модель Леонтьєва продуктивна тоді і тільки тоді, коли l(А)< 1.

На практиці замість сформульованої теореми користуються більш простою достатньою умовою продуктивності моделі Леонтьєва:

Т еорема 2 ( достатня умова ). Матриця A продуктивна, якщо максимум суми елементів її стовпців не перевищує одиниці, причому хоча би для одного із стовпців сума елементів строго менша за одиницю, тобто матриця A продуктивна, якщо a_ij ³ 0 для будь-яких (i, j=1, 2, …, n) і , і існує номер j такий, що .

Приклад 2. В табл. 3 наведені дані про виконання балансу за звітній період в ум. гр. од. Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцеве споживання продукції енергетичної галузі (електроенергії) збільшиться удвічі, а машинобудування збережеться на попередньому рівні.

Таблиця 3

Галузь		Споживання		Кінцевий продукт (y_i)	Валовий випуск (x_i)
Галузь		енергетика	машинобудування	Кінцевий продукт (y_i)	Валовий випуск (x_i)
Виробництво	Енергетика
Виробництво	Машинобудування

Розв’язання. Маємо:

За формулами (3) знаходимо коефіцієнти прямих витрат:

Таким чином матриця прямих витрат має вигляд

Перевіримо виконання умов продуктивності для матриці А:

1) елементи матриці невід’ємні;

2) max{0. 07+0. 12; 0. 14+0. 10 }=max{0. 19; 0. 24}=0. 24< 1.

Таким чином, на основі достатньої умови (теорема 2), робимо висновок, що матриця А продуктивна.

Примітка: Перевірку виконання умови продуктивності можна здійснити і за допомогою сформульованої вище теореми 1:

Оскільки найбільше додатне власне число =0, то матриця А продуктивна.

З продуктивності матриці випливає, що для будь-якого вектора кінцевої продукції U можна знайти необхідний обсяг валового випуску C за формулою (7).

Знайдемо матрицю повних витрат , де .

Оскільки , то обернена матриця існує .

Згідно умови задачі вектор кінцевої продукції .

Тоді за формулою (7) одержуємо вектор валового випуску:

тобто валовий випуск в енергетичній області потрібно збільшити до 179, 01 ум. од., а в машинобудівній – до 160, 53 ум. од.

Приклад 3. Підприємство складається з трьох цехів, кожен з яких виробляє один вид продукції. Прямі витрати одиниць продукції і-го цеху, що використовується (проміжний продукт) для випуску одиниці продукції j-го цеху, а також кількість одиниць продукції і-го цеху, призначених до реалізації (кінцева продукція), наведені в табл. 4.

Таблиця 4

Продукція цехів	Прямі витрати			Кінцева продукція
Продукція цехів				Кінцева продукція
		0, 2
	0, 2		0, 1
		0, 1	0, 2

Визначити:

1) коефіцієнти повних витрат;

2) план (валовий випуск) кожного цеху;

3) виробничу програму цехів;

4) коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат.

Розв’язання. Позначимо через:

§ А – матрицю витратних коефіцієнтів, де

§ Х – виробничу програму підприємства, де , ( ) – плани валового випуску цехів);

§ Y – валовий випуск товарної продукції, де .

Виробничі взаємні зв’язки задовольняють співвідношення типу (5): або . (8)

Ввівши позначимо Е-А=В, де Е – одинична матриця, систему лінійних алгебраїчних рівнянь (8) запишемо у вигляді

, (9) де

1) Коефіцієнти повних витрат – це елементи матриці . Тому для задоволення першої вимоги поставленої задачі потрібно знайти матрицю . Матриця В квадратна 3-го порядку, визначник якої

Тому існує і систему (8) можна розв’язати матричним методом.

Для знаходження матриці знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці В:

Таким чином, оберненою до В матрицею буде

2) Знайдемо розв’язок системи (9) матричним методом:

Отже, плани валового випуску продукції:

для першого цеху , для другого – , для третього – .

3) Визначимо виробничу програму кожного цеху, використовуючи витратні коефіцієнти (елементи матриці А) та співвідношення , :

4) Коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат (елементи матриці С) визначаються як різниця повних внутрішньовиробничих витрат (елементи матриці ) та прямих витрат (елементи матриці А). У матричному вигляді матриця коефіцієнтів непрямих витрат буде:

Приклади для самостійної роботи

1. У таблиці наведені дані про виконання балансу за звітний період в умовних гр. од.

Таблиця 5

Галузь	Споживання	Кінцевий продукт	Валовий випуск
Галузь		Кінцевий продукт	Валовий випуск
Виробництво
Виробництво

Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцевий продукт першої галузі повинен збільшитися вдвічі, а другої на 20%.

2. У таблиці наведені дані про виконання балансу за звітний період в умовних гр. од.

Таблиця 6

Фірма		Споживання		Кінцевий продукт	Валовий випуск
Фірма		“Альфа”	“Омега”	Кінцевий продукт	Валовий випуск
Виробництво	“Альфа”
Виробництво	“Омега”

Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної фірми, якщо:

а) кінцевий продукт фірми “Альфа” дорівнює 70, а фірми “Омега” – 120;

б) кінцевий продукт фірми “Альфа” дорівнює 60, а фірми “Омега” – 80;

3. Зв’язок “витрати-випуск” між сільським господарством і промисловістю задано технологічної матрицею (у вартісній формі) у вигляді табл. 7

Таблиця 7

Галузь		Споживання
Галузь		Сільське господарство	Промисловість
Виробництво	Сільське господарство	0, 1	0, 2
Виробництво	Промисловість	0, 3	0, 5

Попит (споживання) задається вектором

Необхідно знайти валовий випуск x=(x₁, x₂)^T.

4. Технологічну матрицю моделі “витрати-випуск” задано у вигляді табл. 8 (в екю).

Таблиця 8

Виробництво	Споживання
Виробництво	Нафта	Метал	Кам’яне вугілля
Нафта	0, 20	0, 10	0, 25
Метал	0, 15	0, 30	0, 35
Кам’яне вугілля	0, 10	0, 20	0, 25

Потрібно:

а) прокоментувати кожне число у другому стовпці цієї таблиці;

б) скільки необхідно матеріальних затрат (в екю) для виробництва 1 екю нафти?

в) скласти матрицю Е-А;

г) для кінцевого попиту нафти – 40, металу – 60, кам’яного вугілля – 50 скласти систему рівнянь для визначення повного (валового) випуску кожного із цих продуктів.

5. Користуючись теоремою 1 або теоремою 2, перевірити продуктивність наступних матриць:

а) ; б) ; в) .

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒