является общезначимой (тавтологией). Поэтому

Пусть À ′ = (А'; ) – какая – то другая алгебраическая система, однотипная с алгебраической системой À, Ì ′ *=(А′; ) - модель, представляющая (задающая) систему À ′. Допустим, что задан гомоморфизм h: À → À ′. Возникает вопрос: будет ли отображение h гомоморфизом модели Ì * в модель Ì ′ *? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

7⁰. Отображение h алгебраической системы À = (А; W; W₀) в (на) однотипную алгебраическую систему À ¢ = (А¢ ; W¢; W₀¢ ) тогда и только тогда является гомоморфизмом, когда h – гомоморфизм модели Ì *, представляющей алгебраическую систему À, в (на) модель Ì ¢ ^*, представляющей алгебраическую систему À ¢.

Доказательство. Необходимость . Пусть h: Ì ^*→ Ì '^*- гомоморфизм модели Ì ^* в (на) модель Ì ′ ^*, , - одноименные главные a - арные (a = 0, 1, …, n) операции алгебраической системы À и À '; , - соответствующие (a+ 1) – арные отношения (предикаты) моделей Ì ^*, Ì '^*; произвольные элементы из основного множества А.

Так как h: Ì ^* → Ì '^* является гомоморфизмом, то выполнены условия

Обозначим . Тогда предикатная формула

является общезначимой (тавтологией). Поэтому

Отсюда и из условия (12) с учетом вида формулы q, имеем

(13)

В противном случае, согласно операции импликации Þ имели бы, что формула

С учетом введенного обозначения, равенство (13) означает, что

(14)

Переставив левые и правые части равенства (14), видим, что выполнено условие (2) гомоморфизма алгебраической системы À в (на) алгебраическую систему À '.

Достаточность. Обратное утверждение проверяется так же.

Что требовалось доказать.

Пример 2. Показать, что ортогональное проектирование векторов пространства R₃ на координатную плоскость XOY является эпиморфизмом алгебраической системы Å ₃ = (Е₃; +, f_l; ||) на Å ₂ = (Е₂; Å, f_l; ||), где Å, f_l - сложение векторов и умножение векторов на числа (скаляры) на плоскости XOY.

Решение. Выделим в R₃ координатную плоскость и обозначим через Е₂ множество векторов этой плоскости (рис. 29. 4).

Ортогональное проектирование векторов пространства E₃ на

эту плоскость является гомоморфизмом.

Выполнение условий (1) определения 5 вытекает из известных свойств проекций (см. также рис. 29. 4):

Выполнение условия (6¢ ) гомоморфизма очевидно, так как .

Это отображение не является инъективным, так как два различных вектора (например, на рис. 29. 4 это векторы и ) могут иметь одну и ту же проекцию. Поскольку множество векторов пространства R₃ полностью отображается на множество векторов плоскости , то отображение проектирования сюръективное.

Следовательно, – эпиморфизм алгебраической системы Å ₃ = (Е₃; +, f_l; ||) на Å ₂ = (Е₂; Å, f_l; ||).

⇐ Предыдущая 1 23