Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

Типовой расчёт № 4. Интегрирование.

Типовой расчёт № 4

Интегрирование.

Образец решения типового расчёта № 4.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. .

Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала: .

1. 2. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

.

 1. 3.

Сведём данный интеграл к табличному:

.

1. 4. ;

Решение. Применяем способ подстановки:

.

. 5. .

Решение. Применяем способ подстановки:

.

1. 6. .

Решение. Введём подстановку . Получим:

.

1. 7. .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: . В данном случае: . Подставляя эти выражения в формулу, получим:

.

 1. 8. .

Решение. Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

1. 9. ;

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

. Введём подстановку , тогда  и получим:  = .

1. 10. .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

 Введём подстановку , тогда . Получим:

.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. .

Решение. .

 2. 2. .

Решение.

.

 2. 3. .

Решение. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Решение. Точка  является особой точкой, поскольку подынтегральная функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:

 - получили бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, образованных прямой  и гиперболой  на отрезке .

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .

.

Вариант № 1.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 2.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 3.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 4.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 5.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 6.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 7.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 8.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 9.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 10.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 11.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 12.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 13.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 14.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.

Вариант № 15.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 1. ; 1. 2. ; 1. 3. ; 1. 4. ; 1. 5. ;

1. 6. ; 1. 7. ; 1. 8. ; 1. 9. ; 1. 10. .

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

.