I способ. 1 страница

I способ.

Значит, четырёхугольник KNMP является параллелограммом.

. Так как в параллелограмме KNMP один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником (противоположные углы равны и сумма односторонних равна 180°). Поскольку диагонали прямоугольника равны, то м

II способ.

Воспользуемся методом координат. Так как , то лежит на оси ординат
( , а – на оси абсцисс . Тогда вершины четырёхугольника имеют координаты: . По формулам координат середины отрезка найдём координаты точек .

Теперь, по формуле расстояния между точками, найдём длины отрезков и .

Обратим внимание, что .

Ответ: м.

10. (340409) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около четырёхугольника можно описать окружность,

Решение.

Диагональ является биссектрисой , значит, . Так как четырёхугольник вписан в окружность, то его стороны являются хордами этой окружности, а его углы – вписанными углами окружности. По свойству вписанных углов: «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, и расположенные по одну сторону от этой хорды, равны», определяем, что (они опираются на хорду ), а (они опираются на хорду ). Но т. к. , то . Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников. Значит, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, т. е.

. Рассмотрим первое и третье отношение в этой пропорции.

. Тогда, .

Ответ: .

11. (311717) Каждое основание и трапеции продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов и в этой трапеции пересекаются в точке , биссектрисы внешних углов и пересекаются в точке . Найдите периметр трапеции , если длина отрезка равна 28.

Решение.

I способ. Разберём рисунок. – биссектриса угла , – биссектриса угла , – биссектриса угла и – биссектриса угла . Значит, , но как накрест лежащие при параллельных прямых и . Следовательно, , и треугольник – равнобедренный, т. е. . Кроме того, в этом равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, .

Аналогично, , но как накрест лежащие при параллельных прямых и . Следовательно, , и треугольник – равнобедренный, т. е. . Кроме того, в этом равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, .

Так как точки и являются серединами сторон и соответственно, то – средняя линия трапеции , поэтому, .

Теперь составим формулу для нахождения периметра трапеции .

II способ. по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых и . Т. к. – биссектриса , то ; – биссектриса , значит, . Тогда,

. По сумме углов треугольника,

, т. е. – прямоугольный.

Аналогично, по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых и . Т. к. – биссектриса , то ; – биссектриса , значит, . Тогда,

. По сумме углов треугольника,

, т. е. – прямоугольный.

Так как точки и являются точками пересечения биссектрис внешних углов трапеции, то точка равноудалена от сторон и угла , а точка равноудалена от сторон и угла . Т. е., точки и равноудалены от прямых и . Это означает, что . Теперь воспользуемся теоремой Фалеса: «Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой другой секущей также равные отрезки». Значит, и . Поэтому – средняя линия трапеции , и .

В – медиана, опущенная из прямого угла, значит, (в прямоугольном треугольнике центр окружности, описанной около треугольника, лежит на середине гипотенузы, поэтому являются радиусами этой окружности). Следовательно, . Также, в – медиана, опущенная из прямого угла, значит, , значит, .

Ответ: .

12. (311712) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями и , если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение.

Точки – середины сторон соответственно. Значит, – средняя линия

– средняя линия

Тогда и четырёхугольник является параллелограммом. По условию известно, что его диагонали . Равенство диагоналей в параллелограмме является признаком прямоугольника. Значит, (т. к. ). Находим площадь исходного четырёхугольника.

Ответ:

13. (339611, 339403) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей на стороне . Найдите , если .

Решение.

– биссектриса .

по свойству внутренних накрест лежащих при параллельных прямых и .

– равнобедренный, и .

По свойству сторон параллелограмма (противоположные стороны параллелограмма равны), . Значит,

Ответ:

14. (128, 315116) В трапеции боковые стороны и равны, – высота, проведённая к большему основанию . Найдите длину отрезка , если средняя линия трапеции равна , а меньшее основание равно .

Решение.

Так как – средняя линия трапеции, то

По условию, трапеция равнобедренная ( ), значит, отрезки, отсекаемые высотами, опущенными к большему основанию, равны. Тогда

Ответ:

15. (339511) В треугольнике отмечены середины и сторон и соответственно. Площадь треугольника равна . Найдите площадь четырёхугольника .

Решение.

Так как точки и - середины сторон и соответственно, то – средняя линия треугольника . Значит, .

Рассмотрим и

по I признаку подобия треугольников. Значит, стороны этих треугольников пропорциональны, т. е. . Другими словами, коэффициент подобия этих треугольников равен . Подобные треугольники обладают ещё тем свойством, что их площади относятся, как квадрат коэффициента подобия, т. е. . Отсюда: . Теперь можно найти площадь четырёхугольника :

Ответ:

16. (311860, 316270) Основания трапеции и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение.

I способ. Пусть и – середины диагоналей и трапеции соответственно. Отметим точку – середину стороны трапеции, и соединим её с точкой . Тогда в – средняя линия. По свойству средней линии треугольника: «Средняя линия треугольника, соединяющая две стороны, параллельна третьей стороне и равна её половине» . Так как в трапеции основания параллельны, то и . Аналогично, – средняя линия и .

По аксиоме планиметрии: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной», прямые и совпадают, т. е. точки лежат на одной прямой, параллельной основаниям трапеции. Тогда,

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒