Классная работа «Четырёхугольники»

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Классная работа «Четырёхугольники»

ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

1. (311249) Основания равнобедренной трапеции равны и , а периметр равен . Найдите площадь трапеции.

Решение.

Так как трапеция равнобедренная, то , а значит, периметр имеет вид: . Выражаем отсюда сторону .

Опустим высоту . В силу равнобедренности трапеции, .

Из , по теореме Пифагора

Ответ: .

2. (324778) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Решение.

I способ . Опустим перпендикуляр к стороне . Пусть . По свойству диагоналей ромба («диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам») .

Из , по теореме Пифагора: .

Так как высота прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, то:

. Тогда .

Т. к. у ромба все стороны равны, то . Из по теореме косинусов:

. Т. к. значение косинуса отрицательно, то угол – тупой. Используя формулу приведения для косинуса ( ), и учитывая, что , определяем, что .

У ромба соседние углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых, значит, в сумме они дают , т. е. .

Противоположные углы равны, значит, .

II способ. Опустим перпендикуляр . Пусть . По свойству диагоналей ромба («диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам») . В найдём .

Так как диагонали ромба являются биссектрисами углов, то .

(по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых)

Противоположные углы ромба равны, значит, .

Ответ: .

3. (340934) В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 8.

Решение.

I способ. Окружность вписана в параллелограмм , значит, она касается сторон и в точках и соответственно, т. е. стороны параллелограмма являются касательными к окружности. По свойству: «отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны» заключаем, что: .

Рассмотрим и .

по I признаку равенства треугольников. Следовательно, , но , значит, . Кроме того, , значит, , т. е. данный параллелограмм является ромбом и все стороны у него равны. Тогда,

II способ. Этот способ гораздо короче и использует признак описанного четырёхугольника: «Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны», т. е. , т. е. т. е. данный параллелограмм является ромбом и все стороны у него равны. Тогда,

Ответ:

4. (341285) Высота ромба делит сторону на отрезки и . Найдите высоту ромба.

Решение.

Так как у ромба все стороны равны, то .

Из по теореме Пифагора:

Ответ: .

5. (311566) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.

Тогда площадь прямоугольника равна: .

Из по теореме Пифагора: .

Значит, .

Ответ: .

6. (311671) Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках и соответственно. Найдите длину отрезка , если .

Решение.

I способ. Воспользуемся свойством трапеции: «Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится ею пополам и равен отношению удвоенного произведения оснований к сумме оснований», т. е. .

II способ. Этот способ для тех, кто не помнит свойство трапеции, описанное в I способе.

Воспользуемся другим свойством: «Точка пересечения диагоналей трапеции делит её на два подобных треугольника, содержащих основания, и два равновеликих треугольника, содержащих боковые стороны», т. е. . Если и это свойство не всплывает в памяти, то легко доказать подобие треугольников и .

по I признаку подобия треугольников. Значит, стороны у этих треугольников пропорциональны, т. е.

Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников, значит, .

Аналогично, .

Тогда, .

Ответ: .

7. (311666) Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Площади треугольников и равны соответственно см² и см². Найдите площадь трапеции.

Решение.

Рассмотрим и .

по I признаку подобия треугольников. Значит, их площади относятся, как квадрат коэффициента подобия, т. е. . Тогда отношение всех элементов этих треугольников равно . А именно, .

Ответ: .

8. (182) В трапеции основание вдвое больше основания и вдвое больше боковой стороны . Угол равен сторона равна . Найдите площадь трапеции.

Решение.

Так как и , то .

Проведём высоты и к основанию . Тогда .

В (по сумме углов треугольника). Значит, по свойству угла, равного в прямоугольном треугольнике, .

Тогда, , т. е. .

Рассмотрим и .

по I признаку равенства треугольников. Значит, . Тогда .

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике

Ответ: .

9. (311711) В выпуклом четырёхугольнике длина отрезка, соединяющего середины сторон и , равна одному метру. Прямые и перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей и .

Решение.

12 3 4 5 Следующая ⇒