Определение производной.

Урок № 7. Тема: Производная функции.

Цели занятия:

Образовательные: способствовать систематизации знаний по теме: “Производная”; формировать умение практического использования производной; закрепление умений и навыков решения оптимизационных задач; стимулировать творческое мышление и инициативу студентов;

повышать интерес студентов к изучению предмета математик;

закрепить умения пользоваться теоретическими знаниями на практике.

Развивающие: развивать у студентов умения анализировать условия задач, эффективно применять изученные методы, приемы и формулы, навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения;

способствовать развитие общения, смысловую память и произвольное внимание; развивать у студентов коммуникативные компетенции: культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства.

Воспитательные: способствовать формированию у студентов чувства коллективизма, ответственность за работу каждого товарища, умений и навыков работы в группе, умение участия в общем диалоге и поддерживать положительный микроклимат в группе.

Изучение нового материала:

Производная.

Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:

а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти, с какой скоростью растет счет.

б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.

в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.

г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной. Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах.

Понятие производной возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Готфрид Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. Известный учёный ГалилеоГалилей посвящает целый трактат роли производной в математике. Важную роль в изучении производной сыграл ЛеонардЭйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x₀. Приращение аргумента Δ x – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δ y и составим отношение , если существует предел этого отношения при Δ x стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x₀ и обозначают f’(x₀).

Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
На математическом языке:

12 3 Следующая ⇒